Legendrepolynom

De första fem legendrepolynomerna

Legendrepolynom är inom matematik en speciell sorts polynom. De har även kallats klotfunktioner. Det l:te Legendrepolynomet P_l kan fås genom Taylorutvecklingen:

${\frac {1}{\sqrt {1-2xy+y^{2}}}}=\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(x)y^{l},~~(|x|\leq 1,y<1).$

Vänsterledet expanderas med koefficienter i form av Legendrepolynom, varav några termer i högerledet kan användas som dess approximation. Eftersom y < 1 används inom fysiken endast de första tre termerna: dessa motsvarar monopol (laddning), dipol och kvadrupol.

Polynomen kan även fås som lösningar till Legendres differentialekvation:

${\frac {d}{dx}}\left((1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right)+n(n+1)P_{n}(x)=0$

Polynomen kan också genereras med de rekursiva relationerna

$P_{0}(x)=1$

$P_{1}(x)=x$

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)$

En annan härledning kan fås genom att applicera Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess på polynomen 1, x, x², ... med avseende på den inre produkten i L² över intervallet -1 < x < 1. Legendrepolynomen är alltså ortogonala med avseende på den inre produkten i L²(-1,1):

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn}$

Legendrepolynomen används bl.a. inom elektrostatik som bas för multipolutveckling av potentialen.

Explicit uttryck

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{-n-1 \choose k}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}=2^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}x^{k}{n \choose k}{{\frac {n+k-1}{2}} \choose n}$

Rodrigues formel

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]$

Integralrepresentation

För alla $x\in \mathbb {C} \setminus \{+1,-1\}$ gäller

$P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \varphi \right]^{n}\,\mathrm {d} \varphi .$

Se även

• Gegenbauerpolynom
• Jacobipolynom
• Klotytefunktion

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Legendrepolynom.
  Bilder & media