Hypergeometriska funktionen 2F1(a,b;c;z) är en väldigt viktig speciell funktion som har flera andra speciella funktioner som specialfall.
Termen "hypergeometrisk serie" användes först av John Wallis 1655 i hans bok Arithmetica Infinitorum.
Hypergeometriska serier undersöktes av Leonhard Euler, men den första systematiska studien utfördes av Carl Friedrich Gauss 1813.
På 1800-talet undersökte även Ernst Kummer (1836) och Bernhard Riemann (1857) hypergeometriska serier. Riemann karakteriserade hypergeoemtriska funktionen med hjälp av en differentialekvation som den satisfierar.
Hypergeometriska funktionen definieras för |z| < 1 som serien
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5689e32546d4e17d239f662b68c397401061e87)
Den är odefinierad om c är ett icke-positivt heltal. Här är (x)n Pochhammersymbolen
![{\displaystyle (x)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\x(x+1)\cdots (x+n-1)&n>0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f0d97ba3d0e77fae84b10799023544a5434839)
Ett stort antal matematiska funktioner kan uttryckas med hjälp av hypergeometriska funktionen. Några typiska exempel är
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+z)&=z\,_{2}F_{1}(1,1;2;-z)\\(1-z)^{-a}&=\,_{2}F_{1}(a,1;1;z)\\\arcsin(z)&=z\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};z^{2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc60b1632ec03348131297fe6e2aa6fb0321b50)
Legendrepolynomen är också specialfall:
Meixner–Pollaczekpolynomen:
![{\displaystyle P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}(-n,\lambda +ix;2\lambda ;1-e^{-2i\phi }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0dcfebb14c1e1eed589071b67d32cd31c82afd)
Flera viktiga ortogonala polynom, såsom Jacobipolynomen, kan också skrivas med hjälp av hypergeometriska funktionen:
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d446adcb9b8daa44d4a8e249abd35989b6f5eb53)
Ofullständiga betafunktionen Bx(p,q):
![{\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e82953fc336931557e31aaddfc1251281d8908)
Elliptiska integraler:
![{\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5de0f900d974f7d95d750ca394a8ad18e5a9a7)
![{\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d558a263fc701ec187fdea1ae582b43120e4abfe)
Elliptiska modulära funktioner kan ibland uttryckas som inversa funktionen till ett kvot av hypergeometriska funktioner vars argument a, b, c är 1, 1/2, 1/3, ... eller 0. Exempelvis om
![{\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z\right)}{{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b659b673f99005516c7010a55fee1926c59db8d3)
är
![{\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884733cd392d0b6a485a0d22e534b6bb06f63405)
en elliptisk modulär funktion av τ.
Vissa elementära funktioner är gränsvärden av hypergeometriska funktionen:
![{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }F(1,n;1;{x \over n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd23a83a5de5db69d51feca4e602b810faeab64e)
![{\displaystyle \cos x=\lim _{a,\;b\to \infty }F\left(a,b;{\frac {1}{2}};-{\frac {x^{2}}{4ab}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f388800d4ca41f3b57e88ce153da7fbf22482621)
![{\displaystyle \cosh x=\lim _{a,\;b\to \infty }F\left(a,b;{\frac {1}{2}};{x^{2} \over 4ab}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86a6ba105dd6de99996121b8588393b3bb81a3e)
Om B är betafunktionen är
![{\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f42d30a9bbba8c7f8a7ed56028710bee1b6581)
om |z| < 1 eller |z| = 1 och båda membrum konvergerar. Formeln kan bevisas genom att utveckla (1 − zx)−a i en serie med binomialsatsen och integrera termvis. Formeln upptäcktes av Euler 1748.
Eulers transformation är
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b0ce8971d3c7cd5000c124f25a528cf70d63c5)
som följer genom att kombinera Ptaffs transformationer
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de68d051691ff78be97272de16874b9552f0dc5)
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78145825ced3cdd33a512ab8e344cda262debeef)
som igen följer ur Eulers integralrepresentation.
En kvadratisk transformation är
![{\displaystyle F(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}F\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a48831a14610c69afb5589d7a82effacbce60d3)
En kubisk transformation är
![{\displaystyle F\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}F\left(a-{\tfrac {1}{3}},a,2a,2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0018543ee9598a43af4c672fbdeda21b27db69ba)
Gauss sats är
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2246831120a6247d4a51753d5b033769fb128b)
som följer genom att sätta z = 1 i Eulers integralrepresentation.
Kummers sats är
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d95e7c923e4a09b6955e3ec79044d4f5cf5dc92)
som följer ur Kummers kvadratiska transformationer
![{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f58b517d7755b35c69e3748140c80b324844ef6)
och Gauss sats genom att sätta z = −1 i första identiteten.
Gauss andra sats är
![{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5486d0ac36c6d17673055c51b17f0330a7971459)
Baileys sats är
![{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19237a5b8cde4f8d4f5f9f45fd8536d47b9f27af)
![{\displaystyle 27\,(z-1)^{2}\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{8}+18\,(z-1)\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{4}-8\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e3ef7ba591c18a727edde6648339a284e77dc5)
Ett intressant specialfall av identiteten ovan är följande:
![{\displaystyle _{2}F_{1}\left({\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}};\,{\frac {2}{3}};\,{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {{\frac {4}{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}}+{\sqrt[{3}]{4}}+4}}-{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}-2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e0385fd046b0973fee04689c0222c4ec74014d)
Gauss kedjebråk är
![{\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d54114465d858bd4de8e8bb87818d19d9e2da38)
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hypergeometric function, 16 november 2013.
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | | | Zeta- och L-funktioner | | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|