Artins L-funktion

Inom matematiken är Artins L-funktion en viss Dirichletserie associerad till en linjär representation ρ av en Galoisgrupp G. Dessa funktioner introducerades 1923 av Emil Artin i samband med hans forskning inom klasskroppsteori. Deras fundamentala egenskaper, speciellt Artins förmodan, beskriven nedan, har visat sig vara svåra att undersöka. En av tankarna bakom ickekommutativ klasskroppsteori är att generalisera den komplexanalytiska naturen av Artins L-funktioner analogt med automorfiska former och Langlands program.

Funktionalekvation

Artins L-funktion satisfierar en viss funktionalekvation. Funktionen L(ρ,s) är relaterad till L(ρ*, 1 − s), där ρ* betecknar den konjugata representationen. Mer precist, om L ersätts med Λ(ρ, s), som är L multiplicerad med vissa gammafaktorer, då finns en funktionalekvation

$\Lambda (\rho ,s)=W(\rho )\Lambda (\rho ^{*},\ 1-s)$

med ett visst komplext tal W(ρ) med absolutvärdet 1.

Artins förmodan

Artins förmodan innebär att Artins L-funktion L(ρ,s) av en otrivial irreducibel representation ρ är analytisk i hela det komplexa talplanet.

Detta är känt för endimensionella representationer emedan deras L-funktioner är associerade till Heckekaraktärer, och speciellt för Dirichlets L-funktioner. Mer allmänt bevisade Artin att Artins förmodan är sann för alla representationer inducerade från endimensionella representationer. Om Galoisgruppen är superlösbar är alla representationer av denna form, så att Artins förmodan gäller i detta fall.

Tvådimensionella representationer klassificeras enligt naturen av delgruppen som deras bild bildar: denkan vara cyklisk, dihedral, tetrahedral, oktahedral eller ikosahedral. Artins förmodan för det cykliska och dihedrala fallet följer enkelt av Heckes arbete. Langlands använde basbyteslyftet till att bevisa det tetrahedrala fallet, och Jerrold Tunnell utvidgade hans arbete till det oktahedrala fallet; Andrew Wiles använde dessa resultat i hans bevis av Taniyama–Shimuras sats. Richard Taylor och andra har gjort framsteg mot det ikosahedrala fallet; detta är ett aktivt forskningsområde.

André Weil bevisade Artins förmodan i fallet för funktionskroppar.

Av Brauers sats om inducerade karaktärer följer att Artins L-funktion alltid är en produkt av positiva och negativa heltalspotenser av Heckes L-funktioner, och är därmed meromorf i hela komplexa planet.

Referenser

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Artin L-function, 13 juni 2014.

• Artin, E. (1923). ”Über eine neue Art von L Reihen”. Hamb. Math. Abh. 3.  Omtryckt i hans samlade verk, ISBN 0-387-90686-X. Engelsk översättning i Artin L-Functions: A Historical Approach av N. Snyder.
• Artin, Emil (1930). ”Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.” (på tyska). Abhandlungen Hamburg 8: sid. 292–306. doi:10.1007/BF02941010. JFM 56.0173.02. 
• Tunnell, Jerrold (1981). ”Artin's conjecture for representations of octahedral type”. Bull. Amer. Math. Soc. 5 (2): sid. 173–175. doi:10.1090/S0273-0979-1981-14936-3. 
• Gelbart, Stephen (1977). ”Automorphic forms and Artin's conjecture”. Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976). Lecture Notes in Math.. "627". Berlin: Springer. sid. 241–276 
• Langlands, Robert (1967). ”Letter to Prof. Weil”. http://publications.ias.edu/rpl/section/21. 
• Langlands, R. P. (1970). ”Problems in the theory of automorphic forms”. Lectures in modern analysis and applications, III. Lecture Notes in Math. "170". Berlin, New York: Springer-Verlag. sid. 18–61. doi:10.1007/BFb0079065. ISBN 978-3-540-05284-5. http://publications.ias.edu/rpl/section/21 
• Martinet, J. (1977). ”Character theory and Artin L-functions”. i Fröhlich, A.. Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975. Academic Press. sid. 1–87. ISBN 0-12-268960-7