Grassmannmått

Ett Grassmannmått är ett mått i linjär algebra, namngett efter den tyska matematikern Hermann Grassmann.

Formell definition

Låt $0<m<n\,$ vara heltal och bilda Grassmannmångfalden $G(n,m)\,$. Definiera en funktion från ortogonalgruppen $O(n)\,$ till $G(n,m)\,$ på följande sätt:

$\Xi _{V}:O(n)\rightarrow G(n,m)\,$, så att $\Xi _{V}(g)=gV.\,$

Grassmannmåttet $\gamma _{n,m}\,$ ett bildmått:

$\gamma _{n,m}:=\Xi _{V\#}\theta _{n},\,$

dvs för $A\subset G(m,n)\,$

$\gamma _{n,m}(A)=\theta _{n}(\{g\in O(n):gV\in A\}).$

Här är $\theta _{n}\,$ det vridningsinvariant måttet i $O(n)\,$.

Egenskaper

• Eftersom måttet $\theta _{n}\,$ är vridningsinvariant så är Grassmannmåttet också "vridningsinvariant":

$\gamma _{n,m}(gA)=\gamma _{n,m}(A),\,$

för $A\subset G(m,n)\,$. Här

$gA:=\{gW:W\in A\}.\,$

• Eftersom Grassmannmåttet är vridningsinvarianta beror det inte på vilket delrum V man väljer. Därför väljer man ofta delrummet $V=\mathbb {R} ^{m}$.

Favardmått

Man definierar det Favardmåttet med hjälp av Grassmannmåttet. För heltalen $0<m<n\,$ är det m-dimensionella Favardmåttet med en parameter 1 ett Borelmått ${\mathcal {I}}_{1}^{m}:{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}\rightarrow [0,\infty ]$, definierad som:

${\mathcal {I}}_{1}^{m}(A):=\int _{G(n,m)}\int _{V}{\mathcal {H}}^{0}(A\cap P_{V}^{-1}\{v\})\,d{\mathcal {H}}^{m}(v)\,d\gamma _{n,m}(V),$

där

• integralen

$\int _{G(n,m)}d\gamma _{n,m}\,$

är måttintegralen med avseende på måttet $\gamma _{n,m},\,$

• integralen

$\int _{V}d{\mathcal {H}}^{m}$

är måttintegralen med avseende på det m-dimensionella Hausdorffmåttet ${\mathcal {H}}^{m}\,$ över delrummet $V\in G(n,m),\,$

• måttet ${\mathcal {H}}^{0}$ är det nolldimensionella Hausdorffmåttet dvs räknemåttet och

• mängden

$P_{V}^{-1}\{v\}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:P_{V}(x)=v\}\,$

för $v\in V\in G(m,n).\,$

Se även

• Ortogonalgrupp
• Grassmannmångfald