Ett bildmått är inom matematiken ett mått som avbildar en måttstruktur från andra måttrummet till andra.
Låt
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
måttrum och
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
mätbart rum , dvs
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
sigma-algebra i Y . Om
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
mätbar funktion är µ :s f -bildmåttbildmåttet en funktion
f
#
μ
:
G
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle f_{\#}\mu :{\mathcal {G}}\rightarrow [0,\infty ]}
(
f
#
μ
)
(
A
)
:=
μ
(
f
−
1
A
)
,
{\displaystyle (f_{\#}\mu )(A):=\mu (f^{-1}A),}
för
A
∈
G
{\displaystyle A\in {\mathcal {G}}}
urbilder med måttet µ .
Med urbildens egenskaper man kan visa nästan:
(
f
#
μ
)
(
∅
)
=
μ
(
f
−
1
∅
)
=
μ
(
∅
)
=
0
;
{\displaystyle (f_{\#}\mu )(\varnothing )=\mu (f^{-1}\varnothing )=\mu (\varnothing )=0;}
Bildmåttet är σ -additiv E 1 , E 2 , E 3 , ... är en uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
(
f
#
μ
)
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
=
μ
(
f
−
1
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
=
μ
(
⋃
i
=
1
∞
f
−
1
E
i
)
=
∑
i
=
1
∞
μ
(
f
−
1
E
i
)
=
∑
i
=
1
∞
(
f
#
μ
)
(
E
i
)
,
{\displaystyle (f_{\#}\mu )\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\mu \left(f^{-1}\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }f^{-1}E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (f^{-1}E_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }(f_{\#}\mu )(E_{i}),}
eftersom f-1 E 1 , f-1 E 2 , f-1 E 3 , ... är en uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
Dvs bildmåttet är ett mått
G
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow [0,\infty ]}
(
Y
,
G
,
f
#
μ
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},f_{\#}\mu )}
Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning En viktig tillämpning för bildmåttet är stokastisk variabels fördelning. Mer precist, låt
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
X
:
Ω
⟶
R
{\displaystyle X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R} }
sannolikhetsfördelning X är ett bildmått
P
X
:=
X
#
P
.
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}:=X_{\#}\mathbb {P} \,.}
![{\displaystyle f_{\#}\mu :{\mathcal {G}}\rightarrow [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9d6e2df6c8b5faf44148b253b143154fe79db7)
![{\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53572963faf9cf6d6ebbb9cceeda05a18d12c93e)
