Grassmannmångfald

En Grassmannmångfald, namngett efter den tyske matematikern Hermann Grassmann, är inom matematiken en mångfald av alla delrum av en viss dimension i $\mathbb {R} ^{n}$.

Formell definition

Låt $0<m<n\,$ vara heltal. Grassmannmångfalden är mängden

$G(n,m):=\{V\subset \mathbb {R} ^{n}:V\ {\mbox{är ett linjärt delrum, }}\dim(V)=m\}$,

dvs mängden av alla m-dimensionella linjära delrum i $\mathbb {R} ^{n}$.

Mångfald

Grassmannmångfalden är en mångfald med topologin från metriken $d:G(n,m)\times G(n,m)\rightarrow \mathbb {R}$,

$d(V,W):=\|P_{V}-P_{W}\|$,

där

• $V,W\in G(n,m)\,$,

• $P_{V}\,$ och $P_{W}\,$ är ortogonala projektioner på V och W och

• $\|\cdot \|$ är operatornormen för linjär avbildninger.

Måttstruktur

Definiera en funktion från ortogonalgruppen $O(n)\,$ till $G(n,m)\,$ på följande sätt:

$\Xi _{V}:O(n)\rightarrow G(n,m)\,$, så att $\Xi _{V}(g)=gV.\,$

Grassmannmåttet $\gamma _{n,m}\,$ ett bildmått:

$\gamma _{n,m}:=\Xi _{V\#}\theta _{n},\,$

dvs för $A\subset G(m,n)\,$

$\gamma _{n,m}(A)=\theta _{n}(\{g\in O(n):gV\in A\}).$

Här är $\theta _{n}\,$ det vridningsinvariant måttet i $O(n)\,$.

Källor

• Mattila, P. "Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability", Cambridge University Press, 1995.