Tätpunkt är ett begrepp inom måtteori. Tätpunkter är punkter som har mycket "massa" i sin omgivning.
Låt
vara ett metriskt måttrum så att måttet
är Borel. För
och
beteckna A:s yttre täthet i x som
![{\displaystyle {\overline {\Theta }}_{\mu }(A,x):=\limsup _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (A\cap B_{r}(x))}{\mu (B_{r}(x))}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd51876d546565314a3c9a33ac48e296afe15db0)
och A:s inre täthet i x som
![{\displaystyle {\underline {\Theta }}_{\mu }(A,x):=\liminf _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (A\cap B_{r}(x))}{\mu (B_{r}(x))}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e3f4a4cb4dabbc25db232d3063e0c4df53ab12)
där
är en boll med avseende på metriken
.
Mängden A har en täthet i x om
![{\displaystyle \Theta _{\mu }(A,x):={\underline {\Theta }}_{\mu }(A,x)={\overline {\Theta }}_{\mu }(A,x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065e229d22c1aa8a65c90b4476ecbc0348cdef85)
En punkt
är en tätpunkt om
![{\displaystyle \exists \Theta _{\mu }(A,x)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e39d41182468be1465ca419e9e528890d1a6c0e)
Motivationen för talet 1 ovan är att till exempel med Lebesguemåttet är tätheten
![{\displaystyle 0\leq \Theta _{{\mathcal {L}}_{n}}(A,z)\leq 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c221ad244758a02a9d372d9630f46fa9fccc138)
för alla
.
Om
är ett separabelt metriskt rum och
är för
och
A:s s-dimensionella yttre täthet i x
![{\displaystyle {\overline {\Theta }}^{s}(A,x):=\limsup _{r\downarrow 0}{\frac {{\mathcal {H}}^{s}(A\cap B_{r}(x))}{r^{s}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57130fc05ca2e500db59a8e7e6c6b3559dfb6d4a)
och A:s inre täthet i x
![{\displaystyle {\underline {\Theta }}^{s}(A,x):=\liminf _{r\downarrow 0}{\frac {{\mathcal {H}}^{s}(A\cap B_{r}(x))}{r^{s}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62a5e86bba8f39555aa1e99c07f8ac8a4b0a8b8)
där
är s-dimensionellt Hausdorffmåttet.
Mängden A har en s-dimensionell täthet i x om
![{\displaystyle \Theta ^{s}(A,x):={\underline {\Theta }}^{s}(A,x)={\overline {\Theta }}^{s}(A,x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fc1f03215ba4db30cbc81766009670cbbcebfb)
En punkt
är en s-dimensionell tätpunkt för A om
![{\displaystyle \exists \Theta ^{s}(A,x)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840905a34bf208868c38a6bc724361b8292c56da)
Om
och
är
![{\displaystyle \Theta ^{n}=\Theta _{{\mathcal {H}}^{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd45d775684c687cb57395957aa0ed0c8628a87)
Å andra sidan när
finns det många Borelmängder A och punkter x när
![{\displaystyle \Theta ^{s}(A,x)\neq \Theta _{{\mathcal {H}}^{s}}(A,x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1989fae8ed925e340846bd2297b4507ad0ee6fa7)
eftersom
![{\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(B_{r}(x))={\begin{cases}+\infty &{\mbox{om }}s<n\\0&{\mbox{om }}s>n\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2323667042d46def23ac10be9975f723cd9aa8de)
d.v.s. Hausdorffdimensionen för
är n.
s-dimensionella tätpunkter har tillämpningar i geometrisk måtteori.
- Kaimanovich, V. "Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0-2 laws and entropy", Proc. Harmonic Analysis and Discrete Potential Theory, 1991