Måtteoretisk rand

Måtteoretiska randen för en mängd A är inom matematiken den mängd som innehåller alla punkter som är A:s och A:s komplements tätpunkter.

Tätpunkter

Huvudartikel: Tätpunkt

Låt $(X,{\mathcal {F}},\mu ,d)$ vara ett metriskt måttrum så att måttet $\mu \,$ är Borel. För $A\in {\mathcal {F}}$ och $x\in X$ beteckna A:s yttre täthet i x

$\Theta _{\mu }^{*}(A,x):=\limsup _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (A\cap B_{r}(x))}{\mu (B_{r}(x))}},$

och A:s inre täthet i x

$\Theta _{\mu *}(A,x):=\liminf _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (A\cap B_{r}(x))}{\mu (B_{r}(x))}}.$

där $B_{r}(x)\,$ är en boll med avseende på metriken $d\,$.

Mängden A har en täthet i x om

$\Theta _{\mu }(A,x):=\Theta _{\mu }^{*}(A,x)=\Theta _{\mu *}(A,x).\,$

En punkt $x\in X$ är en tätpunkt om

$\exists \Theta _{\mu }(A,x)=1.$

Formell definition

Låt $(X,{\mathcal {F}},\mu ,d)$ vara ett metriskt måttrum vars mått är Borel och $A\in {\mathcal {F}}$. Beteckna

$\partial _{\mu }A:=\{x\in X:\Theta _{\mu }^{*}(A,x)>0,\Theta _{\mu }^{*}(X\setminus A,x)>0\}.$

Då $\partial _{\mu }A$, kallas måtteoretiska randen, som är en mängd vars element är tätpunkterna till A och A:s komplement.

Egenskaper

Måtteoretiska randen är en mätbar mängd, men inte nödvändigtvis en rand för A. Till exempel, om

$(X,{\mathcal {F}},\mu ,d)=(\mathbb {R} ,{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}_{1},|\cdot -\cdot |)$

är randen

$\partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} .\,$

Å andra sidan är måtteoretiska randen

$\partial _{{\mathcal {L}}_{1}}\mathbb {Q} =\varnothing ,$

eftersom

$\Theta _{{\mathcal {L}}_{1}}(\mathbb {Q} ,x)=0\neq 1=\Theta _{{\mathcal {L}}_{1}}(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,x)$

för alla $x\in \mathbb {R}$.

Den måtteoretiska randen beror på måttet. Till exempel om måttet $\mu \,$ är räknemåttet är

$\partial _{\mu }\mathbb {Q} =\mathbb {R} =\partial \mathbb {Q} .$

Se även

• Måtteori

Referenser

• Kaimanovich, V. "Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0-2 laws and entropy", Proc. Harmonic Analysis and Discrete Potential Theory, 1991