Ortogonalmatris

En ortogonalmatris är en reell kvadratisk matris vars rader och kolonner är ortogonala enhetsvektorer.

En matris Q är ortogonal om dess transponat är lika med dess invers:

$Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1}\,$

vilket medför att

$Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I\,$

där I är enhetsmatrisen.

Ortogonalmatriser har konditionstal 1, varför de är viktiga för att bestämma stabilitet inom numerisk linjär algebra.

Exempel

Exempel på ortogonala matriser är:

• Alla enhetsmatriser.
• Alla permutationsmatriser.

Egenskaper

En reell kvadratisk matris av storlek $n$ är ortogonal om och endast om dess kolumner bildar en ortonormerad bas för $\mathbb {R} ^{n}$ med den vanliga skalärprodukten införd. Om kolumnerna endast är ortogonala och inte normerade uppfyller matrisen $A^{T}A=D$ för någon diagonalmatris $D$ istället.

Determinanten till en ortogonal matris $A$ är 1 eller -1:

$1=\det I=\det(A^{T}A)=\det A^{T}\det A=\det A^{2}=(\det A)^{2}\,$

$1=(\det A)^{2}\Leftrightarrow \det A=\pm 1$

Det omvända gäller dock inte; en matris med determinanten 1 är inte nödvändigtvis ortogonal.

En linjär avbildning som har en ortogonalmatris i en ON-bas är också en isometri. Vid basbyte mellan två ändliga ON-baser är basbytesmatrisen en ortogonalmatris, vilket gör att diagonalisering av vissa matriser blir väldigt enkelt, se spektralsatsen.

Ortogonalmatriser används vid ett antal matrisfaktoriseringar, exempelvis QR-faktorisering, polärfaktorisering och singulärvärdesfaktorisering.

Konstruktion

De enklaste ortogonala matriserna är $[1]$ och $[-1]$.

Ortogonala 2×2-matriser kan konstrueras med ett antal ekvationer. Vi utgår från matrisen

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

Kolonnerna skall vara ortogonala och varje kolonns skalärprodukt med sig själv skall vara 1. Detta ger ekvationerna

$1=a^{2}+c^{2}\,\!,$

$1=b^{2}+d^{2}\,\!,$

$0=ab+cd\,\!.$

De två första ekvationerna är ekvationen för en cirkel och med

$a=\cos \theta ,\quad c=\sin \theta$

får vi två möjliga lösningar

$b=-\sin \theta ,\quad d=\cos \theta$

eller

$b=\sin \theta ,\quad d=-\cos \theta$.

Detta ger

${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$, en rotationsmatris, och

${\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \end{bmatrix}}$, en reflektionsmatris.

Se även

• Unitär matris
• Euklidiskt rum