Symmetrisk matris

En symmetrisk matris är inom linjär algebra, en matris sådan att den är identisk med sitt transponat:

$A{\text{ är symmetrisk }}\iff A=A^{T}$

Om matrisen har elementen a_ij är a_ij = a_ji för en symmetrisk matris. Man kan också uttrycka detta som att rad k i en symmetrisk matris har samma element, i samma ordning, som kolonn k.

Exempel

M={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}}

M är symmetrisk, eftersom M^T = M.

A nedan är dock inte symmetrisk, vilket man kan se genom att jämföra elementen i A med elementen i A:s transponat, A^T:

A={\begin{pmatrix}1&2&2\\3&4&5\\3&1&6\end{pmatrix}},~~A^{T}={\begin{pmatrix}1&3&3\\2&4&1\\2&5&6\end{pmatrix}},~~A\neq A^{T}.

Egenskaper

Symmetriska matriser har alltid en ortonormerad bas av egenvektorer, enligt spektralsatsen, vilket innebär att om A är symmetrisk kan A diagonaliseras med en ortogonalmatris, det vill säga, det finns en diagonalmatris D och en ortogonalmatris T sådan att

A=T\,D\,T^{T}

.

där elementen i D:s diagonal är A:s egenvärden.

Om A är en reell matris så är matrisen A^TA symmetrisk, om matrismultiplikationen är tillåten. Detta kan visas med hjälp av räknereglerna för transponat:

(A^{T}A)^{T}=(A)^{T}(A^{T})^{T}=A^{T}A

Symmetrisk avbildning

En symmetrisk linjär avbildning är en avbildning $F$ sådan att

\mathbf {u} \cdot F(\mathbf {v} )=\mathbf {v} \cdot F(\mathbf {u} )

för alla reella vektorer u och v. I en ortonormerad bas motsvarar en symmetrisk avbildning en symmetrisk matris på ett entydigt sätt. För att bevisa detta noteras att skalärprodukten i en sådan bas kan skrivas på matrisformen

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{T}v,

där u och v är kolonnmatriser. Om avbildningen $F$ representeras av matrisen $A$ i den givna basen kan definitionen skrivas som

u^{T}Av=v^{T}Au.

Om $A=A^{T}$ blir transponatet av vänsterledet lika med högerledet. Eftersom vänsterledet är en 1x1-matris är den lika med sitt transponat, så $F$ är symmetrisk. Om man utgår från att $F$ är symmetrisk får man på samma sätt att

v^{T}Au=v^{T}A^{T}u'

och om detta ska gälla för alla u och v måste

A=A^{T}.

Se även