Konditionstal är inom numerisk analys ett mått på hur väl ett visst problem lämpar sig för numeriska beräkningar. Ett problem, exempelvis ett linjärt ekvationssystem , kan vara olika känsligt för störningar i högerledet så att det orsakar en förändring i lösningen .
Är konditionstalet för en matris till ett problem litet kallas det att matrisen är välkonditionerad, och problemet är lätt att lösa med god noggrannhet. Är konditionstalet istället stort är matrisen illa-konditionerad. Då är problemet känsligare för fel och därmed svårare att lösa med bra noggrannhet. Ett olösligt problem, till exempel att invertera en singulär matris, har oändligt stort konditionstal.
Konditionstalet av en matris kan definieras som
- ,
där är någon matrisnorm.
Om man också vill understyka vilken matrisnorm som används kan man t.ex. skriva
som då avser den oändliga matrisnormen, dvs maximala radsumman, av matrisen .
För att härleda konditionstalet, betraktar vi först ett linjärt ekvationssystem som här är ett exakt system med den exakta lösningen . Om vi nu har en förändring i högerledet, så kommer vi också att få en förändring i lösningen.
- , det vill säga .
Eftersom så är
vilket är ekvivalent med
Nästa steg är att uppskatta det relativa felet för uttrycket.
Om man först tar normen av uttrycket så fås
vilket är en uppskattning av det absoluta felet.
Om man på samma sätt också tar normen av fås
Av dessa uttryck följer att
och om man slutligen dividerar bägge leden med och får man
Här ser vi alltså att konditionstalet är den skalfaktor som styr hur relativa felet i indata påverkar det relativa felet i lösningen . Med detta samband kan vi nu uppskatta en övre gräns för känsligheten hos ett linjärt ekvationssystem.
Vad är då det minsta värde som kan anta? För ett ekvationssystem där det relativa felet för är , så följer
- , där är enhetsmatrisen.
- Alltså är
Också matrisen kan innehålla störningar. Uttrycket för att uppskatta känsligheten hos lösningen ser då ut såhär:
- där och
Vi vill bestämma en övre gräns för till ett givet ekvationssystem , där
- , och .
Elementen i är givna med tre korrekta decimaler. Det innebär att vi har ett fel i som är , dvs
Vi ska alltså beräkna .
Konditionstalet för är
- .
Normen av är
- .
Normen av är
- .
Gränsen för den relativa felet i lösningen blir då
Eldén, Lars; Linde Wittmeyer-Koch (2001). Numeriska beräkningar -analys och illustrationer med MATLAB. Lund: Studentlitteratur AB. ISBN 978-91-44-02007-5