Inversion

Figur 1.
Inversionscirkeln $\omega$ (röd) med medelpunkt i $O$ och radien $r$. Punkten $P$ avbildas genom inversion i $\omega$ på punkten $P'$ och vice versa. Punkten $Q$ ligger på $\omega$ och avbildas på sig själv.

Inversion i planet är, löst uttryckt, ett sätt att spegla geometriska objekt i en given cirkel, den så kallade inversioncirkeln. Inversion innebär alltså att man vänder objekt innanför cirkeln, så de hamnar utanför cirkeln och tvärtom. Objekt som ligger helt på inversionscirkeln, kommer att övergå i objekt som fortfarande ligger på inversionscirkeln.

Medan inversion (lokalt) bevarar vinklar, förvanskas dock längder och bland de få objekt som har enkla utseenden både före och efter inversion finns linjer (som övergår i linjer eller cirklar) och cirklar (som övergår i linjer eller cirklar). Därför kan inversiv geometri ses som en formalisering av den transparenta och intuitiva observationen att linjer kan betraktas som "cirklar med oändlig radie".

Grunden för inversion av geometriska objekt är inversion av punkter. Två punkter P och P' (se figur 1) är varandras inversioner med avseende på cirkeln $\omega$ med medelpunkt i $O$ och radien $r$ om

${\frac {|{\overline {OP}}|}{r}}={\frac {r}{|{\overline {OP'}}|}}\Leftrightarrow |{\overline {OA}}|\cdot |{\overline {OB}}|=r^{2}$

Genom likformighet kan man till exempel visa vända-ut-och-in egenskapen samt att vinklar bevaras som nämndes ovan.

Genom att ersätta cirkeln med en sfär kan man utvidga begreppet till tre dimensioner. Stereografisk projektion är exempelvis en avbildning av jordklotet som en inversion i en sfär med nordpolen (eller annan punkt på jordytan) som medelpunkt och med jorddiametern som radie, varvid jordsfären inverteras till ett kartplan.

Konstruktion

Figur 2
Som figur 1. Cirkeln $\mu$ har sträckan ${\overline {OP}}$ som diameter och medelpunkt i $M$. Notera även att, då $P$ avbildas på $P'$ och $A$ och $B$ avbildas på sig själva (de ligger ju båda på $\omega$) ligger inversionerna av dessa tre punkter (vilka alla ligger på $\mu$) på linjen ${\overline {AB}}$.

Beteckningar enligt figur 2.

Om en punkt (som $Q$ i figur 1) ligger på inversionscirkeln ($\omega$) avbildas den på sig själv

ty $|{\overline {OQ}}|=r\Rightarrow r^{2}=|{\overline {OQ}}|\cdot |{\overline {OQ'}}|=r\cdot |{\overline {OQ'}}|\Rightarrow |{\overline {OQ'}}|=r=|{\overline {OQ}}|$,

men annars finns det två möjligheter:

1. Punkten ($P$) ligger utanför $\omega$, det vill säga $|{\overline {OP}}|>r$:

Konstruera cirkeln $\mu$ med ${\overline {OP}}$ som diameter. $\mu$ skär $\omega$ i punkterna $A$ och $B$. Linjen ${\overline {AB}}$ är en normal till ${\overline {OP}}$. ${\overline {AB}}$ är ju en korda (med mittpunkt i $P'$) i både $\omega$ och $\mu$ och då mittpunktsnormalen till en korda går genom cirkelns medelpunkt sammanfaller mittpunktsnormalen till ${\overline {AB}}$ med ${\overline {OM}}$ (och ${\overline {OP}}$). Således är vinkeln $\angle OP'A=\angle MP'A=\angle PP'A$ rät. $A$ ligger på $\mu$ och eftersom ${\overline {OP}}$ är diameter i denna cirkel är vinkeln $\angle OAP$ rät enligt Thales sats. Eftersom de båda rätvinkliga trianglarna $\triangle OP'A$ och $\triangle OAP$ delar vinkeln $\angle P'OA=\angle POA$ är de likformiga, vilket ger:

${\frac {|{\overline {OA}}|}{|{\overline {OP}}|}}={\frac {|{\overline {OP'}}|}{|{\overline {OA}}|}}\Leftrightarrow |{\overline {OP}}|\cdot |{\overline {OP'}}|=|{\overline {OA}}|^{2}=r^{2}$

och $P'$ är således inversionen av $P$ i $\omega$ (och vice versa).

2. Punkten ($P'$) ligger innanför $\omega$, det vill säga $|{\overline {OP'}}|<r$:

Konstruera ändpunktsnormalen ${\overline {P'A}}$ till ${\overline {OP'}}$ i $P'$. Denna skär $\omega$ i $A$ (även i $B$) och ${\overline {OA}}$ är således radie i $\omega$. Dra tangenten till $\omega$ i $A$ och i skärningspunkten $P$ mellan denna tangent och förlängningen av ${\overline {OP'}}$ ligger inversionen av $P'$ i $\omega$. Beviset för att så är fallet är i stort sett detsamma som ovan (de båda konstruktionerna ger ju identiska resultat vad punkter, linjer och cirklar beträffar med undantag för $\mu$ – att $\angle OAP$ är rät följer i stället av att vinkeln mellan en radie till en punkt på en cirkel och tangenten till cirkeln i denna punkt är rät).

Ovan har således också visats att om $P'$ är inversionen av $P$ i $\omega$, så är $P$ inversionen av $P'$ i $\omega$. Inversion är således en involution (om $f_{\omega }(P)=P'$ betecknar inversionen av $P$ i $\omega$ till $P'$ är alltså $f_{\omega }(f_{\omega }(P))=f_{\omega }(P')=P$).

Figur 2B.		Figur 2C.

Historia

Inversion infördes av Jakob Steiner kring 1830. De första indikationerna publicerades 1826 i Einige geometrische Betrachtungen och därefter publicerades flera artiklar och mycket av detta återpublicerades i Steiners verk Systematische Entwicklung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten voneinander 1832.

Användningsområden

Inversion behandlas rätt smidigt i ett kartesiskt koordinatsystem genom att representera punkter (vektorer) som komplexa tal. Typiskt utseende på inversion ges då av Möbiusavbildningen

$z\rightarrow {\frac {1}{z}}$

För att kunna undersöka något djupare egenskaper hos inversion, visar det sig lämpligt använda resultat och metoder från den komplexa analysen. Inversion studeras därför vanligen på högskolenivå som en del i kurser i komplex analys.

Möbiustransformationer kan visas bilda en grupp. Och i enlighet med Felix Kleins Erlangenprogram, att geometri är studium av symmetrigruppen hos vissa funktionsklasser, kommer inversion att bilda en egen geometri, så kallad inversiv geometri.

Vissa geometriska problem som behandlar cirklar och linjer och vid första anblick verkar svåra kan lösas genom att utföra en lämplig inversion varpå resultatet följer. Ett exempel på detta är Steiners porism, ett annat är Feuerbachs sats.

Referenser

• H.S.M. Coxeter och S.L. Greitzer, 1967, Geometry Revisited, kapitel 5, "An Introduction to Inversive Geometry", sid. 103 ff., speciellt sid. 108−114. ISBN 0883856190.