Matrisfaktorisering

Inom matematiken, specifikt linjär algebra, är en matrisfaktorisering en uppdelning av en matris i flera matriser på ett speciellt sätt. Det finns många sorters matrisfaktoriseringar, med tillämpningar inom olika sorters problem.

Faktoriseringar för att lösa linjära ekvationssystem

LU-faktorisering

För alla kvadratiska matriser A, kan matrisen delas upp i så att $A=LU$ för en nedåt triangulär matris L och en uppåt triangulär matris U. Detta kan sedan användas för att snabbare lösa ekvationssystem av typen $Ax=b$.

Choleskyfaktorisering

Choleskyfaktorisering kan ses som ett specialfall av LU-faktorisering; om matrisen A är symmetrisk och positivt definit kan A representeras av $A=U^{T}U$ för en uppåt triangulär matris U.

QR-faktorisering

QR-faktorisering kan göras för alla $m\times n$-matriser A. Matrisen A skrivs som $A=QR$ för en ortogonal matris Q och en uppåt triangulär matris R. Då Q är ortogonal ($Q^{-1}=Q^{T}$) kan ekvationssystemet $Ax=b$ skrivas $QRx=b\Leftrightarrow Rx=Q^{T}b$, som är lättare att lösa.

Uppdelningar med egenvärden och liknande

Diagonalisering

Om en $n\times n$-matris A har n egenvärden och lika många egenvektorer (om egenvärdena är distinkta så finns lika många egenvektorer), kan matrisen skrivas på formen $A=TDT^{-1}$ där D är en diagonalmatris och T är en matris med egenvektorer. I vissa fall kan T göras till en ortogonal matris U så att $A=UDU^{T}$. Se även spektralsatsen.

Jordans normalform

För en given kvadratisk matris A blir jordans normalform $A=TJT^{-1}$, där T utgörs av A:s egenvektorer och J är en blockdiagonal matris. Varje block i J är bidiagonalt med A:s egenvärden i diagonalen och antingen ettor eller nollor i superdiagonalen. Diagonalisering är ett specialfall av jordans normalform.

Singulärvärdesuppdelning

Varje $m\times n$-matris A kan singulärvärdesuppdelas, enligt $A=UDV^{H}$ för unitära matriser U och V och så att D har storleken $m\times n$ och endast har värden (dessa värden kallas singulärvärden) i diagonalen. $V^{H}$ betecknar det hermiteska konjugatet till V.