Hermiteskt konjugat

Det hermiteska konjugatet är en matematisk operation på en matris uppkallat efter franske 1800-talsmatematikern Charles Hermite.

Definition

Det hermiteska konjugatet av en matris $A=(a_{ij})\in \mathbb {C} _{m\times n}$ definieras som $\left(A^{H}\right)_{ij}={\bar {a_{ji}}}$ där ${\bar {z}}$ betecknar komplexkonjugatet av $z$. Med andra ord är det hermiteska konjugatet till $A$ definierat som $A$:s transponat med alla element komplexkonjugerade.

Notera att $A\in \mathbb {R} _{m\times n}\Rightarrow A^{H}=A^{t}$, transponatet av A. Dvs, för reella matriser är det hermiteska konjugatet samma som vanlig transponering.

Andra skrivsätt

$A^{H}\,$ skrivs även $A^{*}\,$ eller $A^{\dagger }$.

Exempel

$A={\begin{pmatrix}3+i&2-i\\i&1-i\end{pmatrix}}$

Ger att:

$A^{H}={\begin{pmatrix}3-i&-i\\2+i&1+i\end{pmatrix}}$

Egenskaper

Ur definitionen får man omedelbart följande egenskaper:

$(A^{H})^{H}=A$

$(A^{H})^{-1}=(A^{-1})^{H}$ om A är inverterbar.

$(A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}$

$(\lambda A)^{H}=\lambda ^{*}A^{H}$, där $\lambda ^{*}$ är $\lambda$:s komplexa konjugat.

$(AB)^{H}=B^{H}A^{H}$

Om operatornormen av $A$ är:

$\|A\|=\sup\{\|Ax\|:\|x\|=1\}$

så är

$\|A^{H}\|=\|A\|$

och

$\|A^{H}A\|=\|A\|^{2}$

Se även

• Normal matris
• Hermitesk matris
• Symmetrisk matris
• Transponat