Kaprekartal

Ej att förväxla med Kaprekars konstant.

Kaprekartal för en given talbas, är ett icke-negativt tal vars kvadrat i den basen kan delas upp i två delar som summerar till det ursprungliga talet igen. Till exempel är 45 ett Kaprekartal eftersom 45² = 2025 och 20 + 25 = 45. Kaprekartal är uppkallade efter matematikern D. R. Kaprekar.

Definition

Låt X vara ett icke-negativt heltal. X är ett Kaprekartal i basen b om det finns icke-negativa heltal n, A och positivt tal B som uppfyller:

X² = Abⁿ + B, där 0 < B < bⁿ

X = A + B

Observera att X även är ett Kaprekartal i basen bⁿ för detta specifika urval för n. Mer snävt kan vi fastställa mängden K(N) för ett givet heltal N som en mängd heltal X där^[1]

X² = AN + B, där 0 < B < N

X = A + B

Varje Kaprekartal i basen n inräknas i en av mängderna K(b), K(b²), K(b³), …

Exempel

Exempel:

Låt det valda (förmodade) heltalet = 297 (3 siffror).
Talets (297:s) kvadrat = 88209.
Dess två delar är ⇒ 88, 209 (2 respektive 3 siffror).
Summan av de två delarna = 88 + 209 = 297.
Således är talet (297) ett Kaprekartal.

297 är ett Kaprekartal i basen 10 eftersom 297² = 88209, som kan delas upp i 88 och 209, och 88 + 209 = 297. Av konvention får den andra delen inledas med siffran 0, men talet måste vara positivt. Till exempel är 999 i Kaprekartal i basen 10 eftersom 999² = 998001, som kan delas upp i 998 och 001, och 998 + 001 = 999. Men 100 är inte ett Kaprekartal, även om 100² = 10000 och 100 + 00 = 100, eftersom den andra delen inte avslutas med en positiv siffra.

De första Kaprekartal i basen 10 är:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, … (talföljd A006886 i OEIS)

I synnerhet är 9, 99, 999, … (alltså alla tal som endast består av nior) Kaprekartal. Mer allmänt, för någon bas b finns det oändligt antal Kaprekartal, inklusive alla tal på formen bⁿ − 1.

Egenskaper

Det bevisades år 2000^[1] att Kaprekartal för någon bas b är i bijektion med enhetsdelarna av bⁿ − 1. Låt Inv(a,b) beteckna den multiplikativa inversen av a modulo b, nämligen det minsta positiva heltal m sådant att $am\equiv 1{\pmod {b}}$ $am\equiv 1{\pmod {b}}$ . Då ingår ett tal X i mängden K(N) (definierad ovan) om och endast om X = d Inv(d, (N−1)/d) för någon enhetsdelare d av N − 1. I synnerhet
- För något X i K(N), N − X tillhör K(N).
- I binära talsystemet är alla jämna perfekta tal även Kaprekartal.

Se även

D. R. Kaprekar
6174 (tal) (Kaprekars konstant)

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Kaprekar number, 16 december 2013.

^ [a b] Ianucci (2000)

D. R. Kaprekar (1980-1981). ”On Kaprekar numbers”. Journal of Recreational Mathematics 13: sid. 81–82.
M. Charosh (1981-1982). ”Some Applications of Casting Out 999...'s”. Journal of Recreational Mathematics 14: sid. 111–118.
Douglas E. Iannucci (2000). ”The Kaprekar Numbers”. Journal of Integer Sequences 3: sid. 00.1.2. Arkiverad från originalet den 2004-04-05. https://web.archive.org/web/20040405174659/http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html.
Yutaka Nishiyama (2006). "Mysterious Number 6174".

[iannucci-1] [a b] Ianucci (2000)

[1]