Dubbelt Mersennetal

Dubbelt Mersennetal är inom matematiken ett Mersennetal av formen

M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1

där p är en Mersenneprimtalsexponent.

De första dubbla Mersennetalen

Talföljden av dubbla Mersennetal börjar med:^[1]

M_{M_{2}}=M_{3}=7

M_{M_{3}}=M_{7}=127

M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647

M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727

(talföljd A077586 i OEIS)

Dubbla Mersenneprimtal

Huvudartikel: Dubbelt Mersenneprimtal

Ett dubbelt Mersennetal som även är primtal kallas för dubbelt Mersenneprimtal. Eftersom ett Mersennetal M_p kan vara primtal om och endast om p är ett primtal (se artikeln Mersenneprimtal för ett bevis) kan ett Mersennetal $M_{M_{p}}$ vara primtal om M_p i sig är ett Mersenneprimtal. De första värdena för p, för vilka M_p är ett primtal är p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. Av dessa är $M_{M_{p}}$ känt för att vara primtal för p = 2, 3, 5, 7. För p = 13, 17, 19, 31 har explicita faktorer funnits som visar att motsvarande dubbla Mersennetal är inte primtal. Således, den minsta kandidaten för nästa dubbla Mersenneprimtal är $M_{M_{61}}$ eller 2^{2305843009213693951} − 1. Cirka 1,695 × 10^{694127911065419641} är för stort för alla nu kända primtalstest. Talet har ingen primtalsfaktor lägre än 4 × 10³³.^[2] Det finns förmodligen inga andra dubbla Mersenneprimtal än de fyra redan kända.

Catalan–Mersennetal-förmodanden

Skriv $M(p)$ istället för $M_{p}$ . Ett specialfall av dubbla Mersennetal är den rekursivt definierade följden:

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), … (talföljd A007013 i OEIS)

som kallas Catalan–Mersennetal.^[3] Det sägs att^[1] Catalan kom med denna följd efter upptäckten av prima av M(127)=M(M(M(M(2)))) av Lucas år 1876.^[4] Catalan förmodade att de, upp till en viss gräns, är alla primtal.^{[förtydliga]}

Även om de fem första termerna (upp till $M(127)$ ) är primtal, kan inga kända metoder avgöra om något mer av dessa tal är primtal (i någon rimlig tid) bara för att talen i fråga är alltför stora, om inte prima av M(M(127)) motbevisas.

Inom populärkulturen

I Futurama-filmen The Beast with a Billion Backs ses det dubbla Mersennetalet $M_{M_{7}}$ i kort som "ett elementärt bevis på Goldbachs hypotes". I filmen kallas detta tal för ett "marsianprimtal" (engelska: martian prime).

Se även

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Double Mersenne number, 17 december 2013.

Noter

^ [a b] Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.
^ Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008 Arkiverad 15 februari 2009 hämtat från the Wayback Machine.. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019+1)×(2⁶¹−1), above 4×10³³. Retrieved on 2008-10-22.
^ Weisstein, Eric W., "Catalan-Mersenne Number", MathWorld. (engelska)
^ Nouvelle correspondance mathématique vol. 2 (1876), p. 94-96, "Questions proposées" probably collected by the editor. Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: "Prouver que 2⁶¹ - 1 et 2¹²⁷ - 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*)." The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows: "(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2² - 1, 2³ - 1, 2⁷ - 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2ⁿ - 1 est un nombre premiere p, 2^p - 1 est une nombre premiere p', 2^p' - 1 est une nombre premiere p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suviant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2ⁿ + 1 est une nombre premiere. (E. C.)" http://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up [retrieved 2012-10-18]

Vidare läsning

Dickson, L. E. (1971) [1919], History of the Theory of Numbers, New York: Chelsea Publishing

Externa länkar

Weisstein, Eric W., "Double Mersenne Number", MathWorld. (engelska)
Tony Forbes, En sökning efter en faktor av MM61.
Status för faktorisering av dubbla Mersennetal (engelska)
Sök efter dubbla Mersenneprimtal (engelska)
Operazione Doppi Mersennes (inloggning krävs) (engelska)

[Caldwell-1] [a b] Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.

[2] Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008 Arkiverad 15 februari 2009 hämtat från the Wayback Machine.. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019+1)×(2⁶¹−1), above 4×10³³. Retrieved on 2008-10-22.

[3] Weisstein, Eric W., "Catalan-Mersenne Number", MathWorld. (engelska)

[4] Nouvelle correspondance mathématique vol. 2 (1876), p. 94-96, "Questions proposées" probably collected by the editor. Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: "Prouver que 2⁶¹ - 1 et 2¹²⁷ - 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*)." The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows: "(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2² - 1, 2³ - 1, 2⁷ - 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2ⁿ - 1 est un nombre premiere p, 2^p - 1 est une nombre premiere p', 2^p' - 1 est une nombre premiere p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suviant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2ⁿ + 1 est une nombre premiere. (E. C.)" http://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up [retrieved 2012-10-18]

[1]

[2]

[3]

[4]