Aritmetisk funktion

En aritmetisk funktion (eller talteoretisk funktion) f(n) är inom talteorin en funktion med definitionsmängd alla positiva heltal och målmängd de komplexa talen. Med andra ord är en aritmetisk funktion en följd av komplexa tal.

De viktigaste aritmetiska funktionerna är de additiva och de multiplikativa.

En viktig operation på de aritmetiska funktionerna är Dirichletfaltning.

Multiplikativa och additiva funktioner

En aritmetisk funktion a är

• fullständigt additiv om a(mn) = a(m) + a(n) för alla naturliga tal m och n;

• fullständigt multipliktiv om a(mn) = a(m)a(n) för alla naturliga tal m och n;

En aritmetisk funktion a är

• additiv om a(mn) = a(m) + a(n) för alla relativt prima naturliga tal m och n;

• multiplikativ om a(mn) = a(m)a(n) för alla relativt prima naturliga tal m och n.

Exempel

Multiplikativa funktioner

φ(n) – Eulers fi-funkion

φ(n), Eulers fi-funktion, är antalet positiva heltal mindre än n som är relativt prima till n.

$\varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).$

μ(n) - Möbiusfunktionen

μ(n), Möbiusfunktionen, är viktig eftersom den förekommer i Möbius inversionsformel. Den definieras som

$\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{om }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{om }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}$

τ(n) – Ramanujans taufunktion

τ(n), Ramanujans taufunktion, definieras som

$\sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.$

Fullständigt multiplikativa funktioner

λ(n) – Liouvilles funktion

λ(n), Liouvilles lambda-funktion, definieras som

$\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.\;$

Additiva funktioner

ω(n) – antalet skilda primtalsdelare

Funktionen ω(n), definierad som antalet skilda primtal som delar n, är additiv.

Funktioner som är varken multiplikativa eller additiva

• c₄(n) - antalet sätt som n kan uttryckas som summan av fyra kvadrater på icke-negativa heltal, där man gör skillnad på summandernas ordning. Till exempel:

1 = 1²+0²+0²+0² = 0²+1²+0²+0² = 0²+0²+1²+0² = 0²+0²+0²+1²,

dvs c₄(1)=4.

• P(n), Partitionsfunktionen - antalet representationer av n som summan av positiva heltal där man inte skiljer på summandernas ordning.

Till exempel: P(2 · 5) = P(10) = 42 och P(2)P(5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42.

• π(n), Primtalsfunktionen - antalet primtal mindre än eller lika med ett givet tal n. Det gäller att π(1) = 0 och π(10) = 4 (primtalen under 10 är 2, 3, 5 och 7).

Λ(n) – Mangoldtfunktionen

Λ(n), Mangoldtfunktionen, är 0 förutom då argumentet är en primtalspotens, då den är logaritmen av primtalet:

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{om }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\mbox{ är en primtalspotens}}\\0&{\mbox{om }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\mbox{ annars}}.\end{cases}}$

r_k(n) – summor av k kvadrater

r_k(n) är antalet representationer av n som summan av k kvadrater, där representationer som skiljer sig enbart i ordningen av termerna eller deras tecken räknas som skilda

$r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|.$

Summafunktioner

Givet en aritmetisk funktion a(n) definieras dess summafunktion A(x) som

$A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).$

A kan ses som en funktion av en reell variabel. Givet ett positivt heltal m är A konstant i det öppna intervallet m < x < m + 1 och har en diskontinuitet vid varje heltal n för vilket a(n) ≠ 0.

Summafunktioner representeras ofta med hjälp av serier och integraler. För att få summafunktionerna kontinuerliga definieras de vanligen vid diskontinuiteter som medelvärdet av värdena till höger och vänster om diskontinuiteten:

$A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).$

Individuella värden av aritmetiska funktioner kan variera mycket. Summafunktionerna varierar i allmänhet mindre. I flera fall går det att hitta asymptotiska formler för summafunktionen för stora x.

Relationer mellan aritmetiska funktioner

Dirichletfaltningar

$\sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}&1{\mbox{ if }}n=1\\&0{\mbox{ if }}n\neq 1.\end{cases}}$     där λ är Liouvilles funktion.

$\sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.$      

$\varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.$   Möbiusinversion

$\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,$

$J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.$       Möbiusinversion

$\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)$      

$\sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).$      

$\sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.$      

$|\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.$       Möbiusinversion

$\sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).$      

$2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).$       Möbiusinversion

$\sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).$      

$d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).$       Möbiusinversion

$\sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).$      

$\sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\mbox{ om }}n{\mbox{ är en kvadrat }}\\&0{\mbox{ om }}n{\mbox{ är inte en kvadrat.}}\end{cases}}$     där λ är Liouvilles funktion.

$\sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.$      

$\Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).$       Möbiusinversion

Summor av kvadrater

${\mbox{Om }}k\geq 4{\mbox{ är }}\;\;\;r_{k}(n)>0.$     (Lagranges fyrakvadraterssats).

$r_{2}(n)=4\sum _{d|n}\chi (d),\;$     där χ är den icke-principiella karaktären (mod 4).

$r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\,|\,n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\,|\,n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\mbox{om }}n{\mbox{ är udda }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\mbox{if }}n{\mbox{ är jämn }}\end{cases}}$     där ν = ν₂(n).    

$r_{6}(n)=16\sum _{d|n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d|n}\chi (d)d^{2}.$    

Definiera funktionen σ_k^*(n) som

$\sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d|n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\,|\,n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\mbox{om }}n{\mbox{ är udda }}\\\sum _{\stackrel {d\,|\,n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\,|\,n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\mbox{if }}n{\mbox{ är jämn}}.\end{cases}}$

Då är

$r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).\;$    

Definiera τ(x) = 0 om x inte är ett heltal.

$r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}$    

Identiteter för sigmafunktionen

$\sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.\;$

$\sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.\;$

${\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\;\end{aligned}}$

$\tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),\;$

Om vi definierar p(0) = 1 är

$p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).$ .

Menons identitet

1965 bevisade P. Kesava Menon

$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).$

Några generaliseringar är:

$\sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).$

$\sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),$

där a₁, a₂, ..., a_s är heltal, gcd(a₁, a₂, ..., a_s, n) = 1.

$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},$

där m₁ och m₂ är udda, m = lcm(m₁, m₂).

Om f är en godtycklig aritmetisk funktion är

$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},$

där * betyder Dirichletfaltning.

Övrigt

${\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1\;$

${\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta |\gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ;\end{aligned}}$

Notera att  $\phi (q)=\sum _{\delta |q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .$

$c_{q}(1)=\mu (q)\;$

$c_{q}(q)=\phi (q)\;$

$\sum _{\delta |n}d^{\;3}(\delta )=\left(\sum _{\delta |n}d(\delta )\right)^{2}\;$ Jämför med 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

$d(uv)=\sum _{\delta \;|\gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right)\;$

$\sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \;|\gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right)\;$

$\tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \;|\gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right)\;$

Dirichletserier för några aritmetiska funktioner

$\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$

$\sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}$

$\sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}$

${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}$

${\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}$

$\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}$

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}$

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}$

$\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}$

${\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}$

${\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.$

${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.$

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.$

${\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.$

${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.$

Referenser

http://www.math.kth.se/~laksov/gymnaset/prosjekter/backman.pdf