Möbiusfunktionen

Möbiusfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt:

$\mu (n)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{om }}p^{2}|n{\mbox{ där }}p{\mbox{ är ett primtal}}\\1&{\mbox{om }}n=1\\(-1)^{k}&{\mbox{om }}n{\mbox{ är en produkt av }}k{\mbox{ distinkta primtal}}\end{matrix}}\right.$

Om man summerar möbiusfunktionen får man Mertensfunktionen.

Funktionen är uppkallad efter den tyske matematikern August Ferdinand Möbius.

Egenskaper

• För alla $n\geq 2$ gäller

$\sum \limits _{d|n}\mu (d)=0.$

• Möbiusfunktionen kan beräknas med hjälp av formeln

$\mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {k}{n}}}.$

• $\sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1$

• $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}=0$

• $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1$

Genererande funktioner

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$

${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}$

Se även

• Aritmetisk funktion

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Möbiusfunktionen.
  Bilder & media