Sannolikhetsrum

Ett sannolikhetsrum är inom sannolikhetsteori ett begrepp som samlar ihop begreppen utfall, händelse och sannolikhet. Sannolikhetsrum definierades av Andrej Kolmogorov under 1930-talet.

Definition

Låt $\Omega \,$ vara en icke-tom mängd och ${\mathcal {F}}$ en sigma-algebra i $\Omega \,$. En funktion $\mathbb {P} :{\mathcal {F}}\longrightarrow [0,1]$ är ett sannolikhetsmått eller sannolikhet på sigma-algebran ${\mathcal {F}}$ om den besitter de två egenskaperna:

• Funktionen $\mathbb {P}$ är ett mått
• $\mathbb {P} (\Omega )=1.$

Ett sannolikhetsrum är en trippel $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$. $\Omega \,$ är utfallsrummet och elementen i sigma-algebran kallas händelser.

Notera att ett sannolikhetsmått är en reellvärd mängdfunktion, eftersom den avbildar en mängd, $A\subseteq \Omega$, på ett reellt tal, $\mathbb {P} (A)$ (sannolikheten för händelsen A).

Två händelser A och B kallas för varandras komplementhändelser om de är disjunkta och deras union är hela utfallsrummet.

Tillämpningar

Sannolikhetsrum är en effektiv struktur för att beskriva många praktiska sannolikhetsproblemen.

Klassiska sannolikhetsrum

Huvudartikel: Klassisk sannolikhetsdefinition

Man kan beskriva den klassiska sannolikhetsdefinitionen med ett sannoklikhetsrum. Då blir utfallsrummet

$\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}\}\,,$

där $n\in \mathbb {N}$ och sannolikhetsmåttet är $\mathbb {P} :{\mathcal {P}}(\Omega )\longrightarrow [0,1]$,

$\mathbb {P} (A)={\frac {|A|}{n}},$

där $|A|$ är kardinaliteten för mängden A.

Geometriska sannolikhetrum

Huvudartikel: Geometrisk sannolikhetsdefinition

Om $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ är ett måttrum där $\mu (X)<\infty$ kan man definiera ett sannolikhetsmått $\mathbb {P} _{\mu }:{\mathcal {F}}\longrightarrow [0,1]$,

$\mathbb {P} _{\mu }(A):={\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}.$

Det geometriska sannolikhetsrummet för måttet $\mu \,$ är en trippel $(X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} _{\mu })$.

Ofta använder man 1-, 2- eller 3-dimensionella Lebesguemåttet i mängden.

Om $|X|<\infty$, ${\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X)$ och $\mu =|\cdot |\,$ (kardinalitet som är ett mått), så är den geometriska sannolikheten samma som klassiska sannolikheten.

Sannolikhetsfördelningrum

Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning

Man kan beskriva sannolikhetsfördelningar med ett sannoklikhetsrum. Låt $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ vara ett sannolikhetsrum och $X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ en stokastisk variabel. Sannolikhetsfördelningrummet för X är

$(\mathbb {R} ,{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ,\mathbb {P} _{X})\,,$

där

$\mathbb {P} _{X}:=X_{\#}\mathbb {P} \,,$

dvs utfallsrummet är reella talen, händelserna är Borelmängder och sannolikhetsmåttet är $\mathbb {P}$:s bildmått $X_{\#}\mathbb {P}$ med avseende på X och kallas X:s sannolikhetsfördelning.

Förteckningar

Bara med måtteoretiska definitioner man kan definiera många naturlig förteckningar inom sannolikhetsteori.

Stokastisk variabel

Huvudartikel: Stokastisk variabel

En stokastisk variabel är en mätbar funktion med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, låt $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ vara ett sannolikhetsrum. En funktion $X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ är en stokastisk variabel om

$X^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}$ för alla Borelmängder $B\in {\mbox{Bor}}\mathbb {R} .$

Detta innebär att en funktion $X\,$ är ${\mathcal {F}}$-mätbara.

Väntevärde

Huvudartikel: Väntevärde

Väntevärde för en stokastisk variabel är en måttintegral med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, om låt $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ vara ett sannolikhetsrum. Om $X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ är en stokastisk variabel så är en väntevärde för X ett tal

$\mathbb {E} (X):=\int \limits _{\Omega }\,X\,d\mathbb {P}$.

Här är $\int d\mathbb {P}$ en måttintegral med avseende på måttet $\mathbb {P}$.

Varians och kovarians

Huvudartiklar: Varians och kovarians

Man kan definiera en varians och en kovarians om man vet väntevärdet.

Variansen för ett stokastisk variabel $X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$, med $\mathbb {E} (X^{2})<\infty$, är talet

$\mathbb {D} ^{2}(X):=\mathbb {E} (X-\mathbb {E} (X))^{2}$,

och kovarians mellan två stokastiska variabeler $X,Y:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ är ett tal

${\mbox{Cov}}(X,Y):=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} (X))(Y-\mathbb {E} (Y))]$.

Konvergenssatser

Eftersom sannolikhetsmåttet är ett mått och stokastiska variabeler är mätbara får man alla konvergenssatser också för sannolikhetsrummet.

Händelsekonvergenssatsen:

• Om $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq ...$ är händelser så är

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mathbb {P} (A_{i})$.

• Om $B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq B_{3}\supseteq ...$ är händelser så är

$\mathbb {P} \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mathbb {P} (B_{i})$.

Fatous lemma: om $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ är stokastiska variabler får man att

$\mathbb {E} (\liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n})\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n}).$

Monotona konvergenssatsen: om $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ är stokastiska variabler med $\mathbb {P} (\{X_{1}\leq X_{2}\leq ...\})=1$ finns det $\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n})$ och

$\mathbb {E} (\lim _{n\rightarrow \infty }X_{n})=\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n}).$

Dominerade konvergenssatsen: om $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ och $X\,$ är stokastiska variabler med $\mathbb {P} (\{|X_{n}|\leq X\})=1$ för alla $n\in \mathbb {N}$ och $\mathbb {E} (X)<\infty$ finns det $\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n})$ och

$\mathbb {E} (\lim _{n\rightarrow \infty }X_{n})=\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n}).$

Se även

• Måtteori