Egenskaper hos mått

Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om mått.

Ett mått har några intressanta egenskaper. Låt $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ vara ett måttrum.

Grundläggande egenskaper

Monotonicitet: Om $E_{1},E_{2}\in {\mathcal {F}}$ där $E_{1}\subseteq E_{2}$ är

$\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})$.

Subadditiv: Om $E_{1},E_{2},E_{3},...\in {\mathcal {F}}$ är en följd av mängder (inte nödvändigtvis disjunkta) gäller att

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})$.

Konvergenssatser

Ett mått uppfyller följande konvergenssatser:

• Om $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq ...\in {\mathcal {F}}$ är

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})$.

• Om $B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq B_{3}\supseteq ...\in {\mathcal {F}}$ där $\mu (B_{1})<\infty$ är

$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (B_{i})$.

Gränsvärdena $\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})$ och $\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (B_{i})$ finns eftersom måttet är monotont:

$\mu (A_{1})\leq \mu (A_{2})\leq ...$

$\mu (B_{1})\geq \mu (B_{2})\geq ...$

om $\mu (A_{i})\nearrow \infty$ definierar vi $\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i}):=\infty$.

Källor

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950

Den här artikeln ingår i boken:  Måtteori