Monotona konvergenssatsen

Det finns flera satser som kallas monotona konvergenssatsen eller satsen om monton konvergens (SOMK).

SOMK för talföljder

Satsen säger att om en talföljd är begränsad och monoton så konvergerar den.

För funktionsföljd

Inom den matematiska analysen förkunnar monotona konvergenssatsen att om $\mu$ är ett mått på en mängd $X$ och $f_{n}$ är en växande följd av funktioner som antar icke negativa värden och är integrerbara med avseende på $\mu$, så uppfyller funktionen

$f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$

likheten

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu =\int f\,\mathrm {d} \mu .$

Bevis

Olikheten $f_{n}\leq f$ ger att

$\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \int f\,\mathrm {d} \mu ,$

med en naturlig tolkning i det fall att $f$ inte är integrerbar. Det följer att

$\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \int f\,\mathrm {d} \mu .$

Om $\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu =\infty$, så är utsagan i satsen uppenbarligen sann. Antag att $\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu <\infty$. Då gäller att

$\int |f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu =\int f_{m}\,\mathrm {d} \mu -\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu \to 0,\quad m\geq n\to \infty .$

Tag enkla funktioner $g_{n}$ sådana att $\int |g_{n}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu <4^{-n}$. Då är

$\mu \{\,x:|g_{n}-f_{n}|\geq 2^{-n}\,\}<2^{-n}.$

Det följer att $\int |g_{n}-g_{m}|\,\mathrm {d} \mu \to 0$ när $m,n\to \infty$, och $\lim _{n}g_{n}=f$ nästan överallt. Sålunda är $f$ integrerbar och

$\int f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int g_{n}\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu .$