Dirichlets delarproblem

Inom talteori är Dirichlets delarproblem ett klassiskt problem om tillväxten av summafunktionen av delarantalet.

Delarfunktionens summafunktion definieras som

$D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)$

där

$\!\ d(n)=\sum _{d|n}1$

är antalet delare av n.

Att hitta en sluten formel för denna funktion är ett extremt svårt problem, men det går att härleda goda approximationer. Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att

$D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\$

där $\gamma$ är Eulers konstant där

$\Delta (x)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {x}}\right).$

Dirichlets delarproblem frågar följande: vad är infimum för alla tal $\theta$ förvilkar which

$\Delta (x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta +\epsilon }\right)$

gäller för alla $\epsilon >0$. Många av metoderna inom detta problem kan användas inom Gauss cirkelproblem som är ett relaterat problem med en annan aritmetisk funktion

• 1904 bevisade G. Voronoi att feltermen kan förbättras till ${\mathcal {O}}(x^{1/3}\log x).$
• 1916 bevisade G.H. Hardy att $\inf \theta \geq 1/4$. Han bevisade att för någon konmstant $K$ finns det värden på x så att $\Delta (x)>Kx^{1/4}$ och värden x så att$\Delta (x)<-Kx^{1/4}$.
• 1922 förbättrade J. van der Corput Dirichlets resultat till $\inf \theta \leq 33/100.$
• 1928 förbättrade han sitt resultat något till $\inf \theta \leq 27/82.$
• 1950 bevisade Chih Tsung-tao och oberoende av Chih H. E. Richert 1953 att $\inf \theta \leq 15/46.$
• 1969 bevisade Grigori Kolesnik att $\inf \theta \leq 12/37$.
• 1973 bevisade han att $\inf \theta \leq 346/1067$.
• 1982 förbättrade han sitt resultat något till $\inf \theta \leq 35/108$.
• 1988 bevisade H. Iwaniec och C. J. Mozzochi att $\inf \theta \leq 7/22.$
• 2003 förbättrade M.N. Huxley detta till $\inf \theta \leq 131/416.$

Så det äkta värdet av $\inf \theta$ är någonstans mellan 1/4 och 131/416 (approximativt 0.3149); det har förmodats att den är precis lika med 1/4. Direkt beräkning av $\Delta (x)$ stöder det, då $\Delta (x)/x^{1/4}$ verkar vara approximativt normalt fördelat med standarddevitation 1 för x ända upp till minst 10¹⁶. Värdet 1/4 skulle även följa av en förmodan om exponentpar.

Piltzs delarproblem

Definiera

$D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n).$

Då är

$D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,$

där $P_{k}$ är ett polynom av grad $k-1$. Med simpla metoder kan man visa att

$\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)$

för heltal $k\geq 2$. Såsom i fallet $k=2$ känner man inte till infimat för något värde på $k$. Att hitta dessa infimum är känt som Piltzs delarproblem, efter den tyska matematikern Adolf Piltz. Genom att definiera $\alpha _{k}$ som det infimat på värden med which $\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)$ gäller för all $\varepsilon >0$ följande resultat (notera att that $\alpha _{2}$ är $\theta$ från förra sektionen):

$\alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\$

$\alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,$ och

$\alpha _{k}\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\$

$\alpha _{9}\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\quad \$

$\alpha _{k}\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\$

$\alpha _{k}\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\$

$\alpha _{k}\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\$

$\alpha _{k}\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\ .$

• E.C. Titchmarsh förmodar att $\alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Divisor summatory function, 2 mars 2014.

• H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function, (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
• E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann Zeta-Function, (1951) Oxford at the Clarendon Press, Oxford. (See chapter 12 for a discussion of the generalized divisor problem)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3  (Provides an introductory statement of the Dirichlet divisor problem.)
• H. E. Rose. A Course in Number Theory., Oxford, 1988.
• Huxley, Martin (2003). Exponential Sums and Lattice Points III. Proc. London Math. Soc. sid. (3)87: 591-609