Delarantalet (alternativt antal delare ) för ett positivt heltal n , är antalet positiva delare till talet, inklusive 1 och n självt, och betecknas ofta d(n ).
Talet 28 är delbart med 1, 2, 4, 7, 14 och 28, så d(28) = 6.
Talet 7 är delbart med 1 och 7, så d(7) = 2.
Talet 12 är delbart med 1, 2, 3, 4, 6 och 12, så d(12) = 6. Om primtalsfaktoriseringen av n är
n
=
∏
i
=
1
r
p
i
a
i
{\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}
är delarantalet av n
d
(
n
)
=
∏
i
=
1
r
(
a
i
+
1
)
.
{\displaystyle d(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).}
Roger Heath-Brown bevisade 1984 att det finns oändligt många n så att
d
(
n
)
=
d
(
n
+
1
)
.
{\displaystyle d(n)=d(n+1).}
För alla
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
d
(
n
)
=
o
(
n
ϵ
)
.
{\displaystyle d(n)=o(n^{\epsilon }).}
Severin Wigert har bevisat att
lim sup
n
→
∞
log
d
(
n
)
log
n
/
log
log
n
=
log
2.
{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.}
Å andra sidan, eftersom det finns oändligt många primtal , är
lim inf
n
→
∞
d
(
n
)
=
2.
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}
Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att delarfunktionen satisfierar
for all
x
≥
1
,
∑
n
≤
x
d
(
n
)
=
x
log
x
+
(
2
γ
−
1
)
x
+
O
(
x
)
{\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}
där
γ
{\displaystyle \gamma }
Eulers konstant . Att förbättra feltermen
O
(
x
)
{\displaystyle O({\sqrt {x}})}
Några dirichletserier vars koefficienter är d(n ) eller relaterade funktioner är
ζ
2
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
d
(
n
)
n
s
{\displaystyle \zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}}
ζ
3
(
s
)
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
d
(
n
2
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}}
ζ
4
(
s
)
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
d
(
n
)
2
n
s
.
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.}
2
ω
(
n
)
≤
d
(
n
)
≤
2
Ω
(
n
)
{\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}\;}
