Pafnutij Tjebysjov (1821-1894).
Tjebysjovpolynomen är en serie ortogonala polynom uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov.
Tjebysjovpolynomen av första ordningen definieras med hjälp av differensekvationen
![{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6919148eb4f2e29abf68bd65b1fcb64c7844e1)
De kan även definieras trigonometriskt som
![{\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a34637eb214be82b1346e57ef97ce96e3a03b8)
Deras genererande funktion är
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb57acdc8d4a1ee2b995e2141f8a894e0cdce56)
Den exponentiella genererande funktionen är
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\tfrac {1}{2}}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a376f5b3dc711e80a2ef15b43b9f5d1a93000567)
En annan genererande funktion är
![{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}\left(x\right){\frac {t^{n}}{n}}=\ln {\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47043215b0031532b83e83f08ecbe0e1e204bc75)
Tjebysjovpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12021145ca833b07fa5d65fd410546c081583884)
Deras genererande funktion är
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b22d8843d9a4015abedc37eb0826cb92feea84d)
För varje icke-negativt heltal n är Tn(x) och Un(x) polynom av grad n.
Flera polynom, såsom Lucaspolynomen (Ln), Dicksonpolynomen (Dn) och Fibonaccipolynomen (Fn) är relaterade till Tjebysjovpolynomen.
Tjebysjovpolynomen av första ordningen satisfierar relationen
![{\displaystyle T_{j}(x)T_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(T_{j+k}(x)+T_{|k-j|}(x)\right),\quad \forall j,k\geq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6fb90b0835625098f6e5361207908c38fd40c5)
En analog identitet för Tjebysjovpolynomen av andra ordningen är
![{\displaystyle T_{j}(x)U_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(U_{j+k}(x)+U_{k-j}(x)\right),\quad \forall j,k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203cf0ea51b92c5ff02ae5725aae2be316fff1ff)
En formel analogisk till
![{\displaystyle T_{n}\left(\cos \theta \right)=\cos(n\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cff42f7c3f87c258744d8078e446164f05e9b68)
är
.
För
är
and
![{\displaystyle x^{n}=T_{n}\left({\tfrac {1}{2}}\left[x+x^{-1}\right]\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(x-x^{-1}\right)U_{n-1}\left({\tfrac {1}{2}}\left[x+x^{-1}\right]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ea349088ca9f20cf1f5a3238dc7b1bd41297fe)
som följer ur definitionen genom att låta
.
Låt
![{\displaystyle C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f912eff8fa8eddfc0cc3ab242750bfc5424c929)
då är
![{\displaystyle C_{n}\left(C_{m}(x)\right)=C_{m}(C_{n}(x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd0fbc5ebfa32e0d7ae60859d811384c129b755)
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e61d4b8aa317d00a13d5f5bc61d769dd8a93659)
Relationer mellan Tjebysjovpolynom av första och andra ordningen[redigera | redigera wikitext]
Följande relationer gäller mellan Tjebysjovpolynomen av första och andra ordningen:
![{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774042f289dddb3c02607b046039b3a28a3d3bc9)
![{\displaystyle T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c0fab318045ef9634b9a3580a27460909eb821)
![{\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3a781aec8ae35d21d80fbf37f2c705145e318b)
![{\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e798c0323507a834c3b030bfb9d34280362b77d)
, där n är udda.
, där n är jämnt.
Det finns ett flertal olika explicita uttryck för Tjebysjovpolynomen:
![{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ |x|\leq 1\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc24a5a8845f5f2d8405ba627a66e78cd6ce4e19)
![{\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(1-x^{-2})^{k}\\&={\tfrac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=\,_{2}F_{1}\left(-n,n;{\frac {1}{2}};{\frac {1-x}{2}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae8599b734efe9fd5fe844f48323f3221159245)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(1-x^{-2})^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=(n+1)\,_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}\left[1-x\right]\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a4cb2b42cba02a22b5f0f00a532f0f5ace46ca)
där
är hypergeometriska funktionen.
Tjebysjovpolynomen är ett specialfall av Gegenbauerpolynomen, som igen är ett specialfall av Jacobipolynomen:
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Chebyshev polynomials, 5 december 2013.