Fibonaccipolynomen är en polynomföljd som kan ses som en generalisering av Fibonaccital och definieras av
![{\displaystyle F_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{om }}n=1\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{om }}n=2\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{om }}n\geq 3\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2988b324e687046b9b29e896fff09f570395adf)
De första fibonaccipolynomen är:
![{\displaystyle F_{1}(x)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658facd8ef73879e20b3143b4615c4b9f749b26d)
![{\displaystyle F_{2}(x)=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29f80479602de8440e796c9d6224d1c7cde2e09)
![{\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef6aa18ca8d576b4329459ea51eb3dd67bca70d)
![{\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764aadf16474f43df83cc768073d216036d545d1)
![{\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f6dcfb45e870d88d29ba6ef9fb7c28106438bd)
![{\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b06bda879fee7755b9a905a1aa27b2e7131744)
Värdet av det n:te fibonaccipolynomet för x = 1 är lika med det n:te fibonaccitalet.
Några identiteter för Fibonaccipolynomen är
![{\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcff625acc03325b962e7bf8ea6836b09dbe2308)
![{\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f361134d6d4b610117c7f30c64d07129190b893b)
Fibonaccipolynomen kan skrivas i sluten form som
![{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57c19a544dbb805b18602b39b2d4552cabe0528)
där
![{\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd141e51c237dc3f2008bd2910c21cb3c8ea20db)
är lösningarna (i t) av
![{\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771aa261c58c3b864621bd1714d445919be32295)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d038a5c07d4c090385692faff192ddc6dc83165b)