Värderum

Värderummet, även känt som kolonnrummet, eller bilden till en linjär avbildning är avbildningens värdemängd.

Värderummet V för en linjär avbildning $F:\mathbb {U} \rightarrow \mathbb {V}$ (där $\mathbb {U}$ och $\mathbb {V}$ är två vektorrum) definieras som:

$V(F)=\{F({\bar {u}})\in \mathbb {V} :{\bar {u}}\in \mathbb {U} \}$

Det vill säga mängden av alla vektorer i $\mathbb {V}$ som nås av $F$. Att värderummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett underrum till $\mathbb {V}$ visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning. Ty om ${\bar {u}},{\bar {v}}\in V(F)$ och $\alpha \in \mathbb {R}$ så existerar det ${\bar {z}},{\bar {w}}\in \mathbb {U}$ så att ${\bar {u}}=F({\bar {z}}),{\bar {v}}=F({\bar {w}})$ och då gäller:

1. ${\bar {u}}+{\bar {v}}=F({\bar {z}})+F({\bar {w}})=F({\bar {z}}+{\bar {w}})\Rightarrow {\bar {u}}+{\bar {v}}\in V(F)$
2. $\alpha {\bar {v}}=\alpha F({\bar {w}})=F(\alpha {\bar {w}})\Rightarrow \alpha {\bar {v}}\in V(F)$

Vilket är ekvivalent med att $V(F)$ är ett underrum av $\mathbb {V}$.

Eftersom ${\bar {w}}\in \mathbb {U}$ och således kan skrivas på formen ${\bar {w}}=x_{1}{\bar {u}}_{1}+x_{2}{\bar {u}}_{2}+...+x_{k}{\bar {u}}_{k}=\mathbf {u} X$ där $\mathbf {u} =\left\{{\bar {u}}_{1},{\bar {u}}_{2},...,{\bar {u}}_{k}\right\}$ är en bas till $\mathbb {U}$ så gäller även:

${\bar {v}}=F({\bar {w}})=F(x_{1}{\bar {u}}_{1}+x_{2}{\bar {u}}_{2}+...+x_{k}{\bar {u}}_{k})=x_{1}F({\bar {u}}_{1})+x_{2}F({\bar {u}}_{2})+...+x_{k}F({\bar {u}}_{k})\in \left[F({\bar {u}}_{1}),F({\bar {u}}_{2}),...,F({\bar {u}}_{k})\right]$

Det vill säga att ${\bar {v}}$ är en linjärkombination av $F({\bar {u}}_{1}),F({\bar {u}}_{2}),...,F({\bar {u}}_{k})$ och $V(F)$ således spänns upp av det linjära höljet av dessa vektorer, vilket är ekvivalent med att säga att $V(F)$ spänns upp av det linjära höljet av kolonnerna i den matris $A$ som avbildningen $F$ beskrivs av.

Tolkning

Om avbildningen $F:\mathbb {U} \rightarrow \mathbb {V}$ kan skrivas med matrisen $A$ innebär det att ekvationen $y=Ax$ har lösningar om och endast om $y\in V(F)$ , det vill säga om $y$ faktiskt nås av $F$. Detta innebär alltså att om du har ett system som beskrivs av $y=Ax$, där $A$ är någon slags transform som verkar på en insignal $x$ och ger en utsignal $y$ t.ex., så är det enbart utsignaler hörandes till värderummet som faktiskt kan erhållas.

Exempel

• Bestäm $V(F)$ om $F$ är en ortogonalprojektion i ett plan.

Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet. Således består $V(F)$ av alla vektorer i planet, ty det är dessa som nås av avbildningen.

• Bestäm $V(F)$ om $F$ är en vridning med vinkel $\theta$ kring en axel i rummet.

Lösning: Varje vektor i rummet kan erhållas genom att vrida någon annan vektor vinkel $\theta$, således kan samtliga vektorer nås av avbildningen och $V(F)$ utgörs helt enkelt av rummet.

• Bestäm en bas till $V(F)$ om $F:$ $\mathbb {R}$ ⁴ $\rightarrow$ $\mathbb {R}$ ⁴ ges av matrisen $A$:

${\begin{pmatrix}2&1&-1&-4\\0&1&-1&0\\0&2&-2&0\\1&0&0&-2\end{pmatrix}}$

Lösning: $V(F)$ spänns upp av kolonnerna i $A$ och vi finner således en bas till värderummet genom att teckna kolonnernas beroendeekvation och plocka bort eventuella linjärkombinationer. $\lambda _{1}A_{1}+\lambda _{2}A_{2}+\lambda _{3}A_{3}+\lambda _{4}A_{4}=0$ (där $A_{1},...,A_{4}$ är kolonnerna i $A$) ger följande ekvationssystem som löses med stegvis gausselimination:

$\left[{\begin{array}{rrrr|r}2&1&-1&-4&0\\0&1&-1&0&0\\0&2&-2&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrrr|r}0&1&-1&0&0\\0&1&-1&0&0\\0&1&-1&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrrr|r}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\Leftrightarrow {\begin{alignedat}{7}\lambda _{2}&&\;=\;&&\lambda _{3}\\\lambda _{1}&&\;=\;&&2\lambda _{4}\end{alignedat}}$

$\lambda _{3}=t,\lambda _{4}=s\Rightarrow \lambda _{2}=t,\lambda _{1}=2s$, det vill säga en parameterlösning med två parametrar vilket innebär att vi kan plocka bort två av kolonnerna utan att påverka vad de spänner upp. Man ser också att $A_{4}=-2A_{1},A_{3}=-A_{2}$, alltså att $A_{3}$ och $A_{4}$ är linjärkombinationer av övriga kolonner och således kan plockas bort. $A_{1},A_{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}$ spänner således upp $V(F)$ och utgör en bas för värderummet.

Se även

• Nollrum
• Dimensionssatsen
• Värdemängd

Referenser

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet