Quillen–Lichtenbaums förmodan

Inom matematiken är Quillen–Lichtenbaums förmodan en förmodan som relaterar étalekohomologi till algebraisk K-teori introducerad av Quillen (1975, p. 175), som inspirerades av tidigare förmodanden av Lichtenbaum (1973). Kahn (1997) and Rognes & Weibel (2000) bevisade förmodan vid primtalet 2 för vissa talkroppar. Rost och Voevodsky har meddelat att de har bevisat Bloch–Katos förmodan, av vilket Quillen–Lichtenbaums förmodan följer för alla primtal.

Förmodan

I Quillens ursprungliga form säger förmodan att om A är en ändligtgenererad algebra över heltalen och l är ett primtal, då finns det en spektralföljd, analog till Atiyah–Hirzebruchs spektralföljd, börjande med

$E_{2}^{pq}=H_{\text{étale}}^{p}({\text{Spec }}A[\ell ^{-1}],Z_{\ell }(-q/2)),$ (which is understood to be 0 if q is odd)

och som slutar med

$K_{-p-q}A\otimes Z_{\ell }$

för −p − q > 1 + dim A.

K-teori av heltalen

Under antagande av Quillen–Lichtenbaums förmodan och Vandivers förmodan ges K-grupperna K_n(Z) av heltalen av:

• 0 om n = 0 mod 8 och n > 0, Z om n = 0
• Z ⊕ Z/2 om n = 1 mod 8 och n > 1, Z/2 om n = 1.
• Z/c_k ⊕ Z/2 om n = 2 mod 8
• Z/8d_k om n = 3 mod 8
• 0 om n = 4 mod 8
• Z om n = 5 mod 8
• Z/c_k om n = 6 mod 8
• Z/4d_k om n = 7 mod 8

där c_k/d_k är Bernoullitalet B_2k/k, förkortat så mycket det går, och n är 4k − 1 eller 4k − 2 (Weibel 2005).

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Quillen–Lichtenbaum conjecture, 1 januari 2015.

• Grayson, Daniel R. (1994), ”Weight filtrations in algebraic K-theory”, i Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre, Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., "55", Providence, R.I.: American Mathematical Society, s. 207–237, ISBN 978-0-8218-1636-3, http://books.google.com/books?id=v2CuklFFV5IC&lpg=PA232 
• Kahn, Bruno (1997), The Quillen-Lichtenbaum conjecture at the prime 2, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0208/QL2.pdf 
• Lichtenbaum, Stephen (1973), ”Values of zeta-functions, étale cohomology, and algebraic K-theory”, i Bass, H., Algebraic K-theory, II: Classical algebraic K-theory and connections with arithmetic (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972), Lecture Notes in Mathematics, "342", Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 489–501, doi:10.1007/BFb0073737, ISBN 978-3-540-06435-0 
• Quillen, Daniel (1975), ”Higher algebraic K-theory”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), Vol. 1, Canad. Math. Congress, Montreal, Que., s. 171–176, arkiverad från ursprungsadressen den 2011-09-27, https://web.archive.org/web/20110927014241/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.1/ 
• Rognes, J.; Weibel, Charles (2000), ”Two-primary algebraic K-theory of rings of integers in number fields”, Journal of the American Mathematical Society 13 (1): 1–54, doi:10.1090/S0894-0347-99-00317-3, ISSN 0894-0347, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0220 
• Weibel, Charles (2005), ”Algebraic K-theory of rings of integers in local and global fields”, i Friedlander, Eric M.; Grayson, Daniel R., Handbook of K-theory. Vol. 1, Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 139–190, doi:10.1007/3-540-27855-9_5, ISBN 978-3-540-23019-9, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0691/