Algebraisk K-teori

Inom matematiken är algebraisk K-teori ett viktigt delområde av homologisk algebra och rör definitionen och tillämpningar av en följd

K_n(R)

av funktorer från ringar till abelska grupper, för alla naturliga tal n. Av historiska skäl behandlar man ofta de lägre K-grupperna K₀ och K₁ något annorlunda än de högre K-grupperna K_n för n ≥ 2. De lägre grupperna är enklare att behandla och har hittills haft större tillämpning än de högre grupperna. De högre K-grupperna är också betydligt svårare att beräkna (till och med när R är ringen av heltal). Den nu använda definitionen av Quillen täcker dock samtliga K-grupper.

Gruppen K₀(R) generaliserar konstruktionen av idealklassgruppen av en ring genom att använda projektiva moduler. Dess utveckling på 1960- och 1970-talet var relaterat till försök att bevisa en förmodan av Serre om projektiva moduler numera känd som Quillen–Suslins sats; flera andra samband med klassiska algebraiska problem upptäcktes under denna period. Analogt är K₁(R) en modifiering av enheterna i en ring, genom att använda elementär matristeori. Gruppen K₁(R) är viktig inom topologin, speciellt då R är en gruppring, eftersom dess kvot Whiteheadgruppen innehåller Whiteheadtorsionen som används till att undersöka problem i enkel homotopiteori; gruppen K₀(R) innehåller även andra invarianter såsom ändlighetsinvarianten. Sedan 1980-talet har algebraisk K-teori använts i ökande takt inom algebraisk geometri. Exempelvis är motivisk kohomologi nära relaterad till algebraisk K-teori.

Lägre K-grupperna

De lägre K-grupperna upptäcktes först och gavs flera användbara beskrivningar. I följande är A alltid en ring.

K₀

Funktoren K₀ tar ringen A till Grothendieckgruppen av mängden av isomorfiklasser av dess ändligtgenererade projektiva moduler, betraktad som en monoid under direkta summan. Varje ringhomomorfism A → B ger en avbildning K₀(A) → K₀(B) genom att ta (klassen av) en projektiv A-modul M till M ⊗_A B, vilket gör K₀ till en kovariant funktor.

Om ringen A är kommutativ kn vi definiera en delgrupp av K₀(A) som mängden

${\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ är ett primideal av }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}}$

där

$\dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z}$

är avbildningen om sänder varje (klass av en) ändligtgenererad projektiv A-modul M till rangen av den fria $A_{\mathfrak {p}}$-modulen $M_{\mathfrak {p}}$ (denna modul är faktiskt fri, emedan varje ändligtgenererad projektiv modul över en lokal ring är fri). Denna delgrupp ${\tilde {K}}_{0}\left(A\right)$ är känd som den reducerade nollte K-teorin av A.

Om B är en pseudoring kan vi utvidga definitionen av K₀ på följande vis. Låt A = B⊕Z vara utvidgningen av B till en ring med enhet, som fås genom att addera ett identitetselement (0,1). Då finns det en kort exakt följd B → A → Z och vi definierar K₀(B) som nollrummet av den korresponderande avbildningen K₀(A) → K₀(Z) = Z.

Se även

• Topologisk K-teori

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Algebraic K-theory, 5 januari 2015.

Källor

• Bass, Hyman (1968), Algebraic K-theory, Mathematics Lecture Note Series, New York-Amsterdam: W.A. Benjamin, Inc. 
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, reds. (2005), Handbook of K-Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-30436-4, https://link.springer.com/referencework/10.1007%2F978-3-540-27855-9 
• Friedlander, Eric M.; Weibel, Charles W. (1999), An overview of algebraic K-theory, World Sci. Publ., River Edge, NJ, s. 1–119 
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006), Central simple algebras and Galois cohomology, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, "101", Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-86103-9 
• Gras, Georges (2003), Class field theory. From theory to practice, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-44133-6 
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields, Graduate Studies in Mathematics, "67", American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2 
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity laws. From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4 
• Milnor, John Willard (1969 1970), ”Algebraic K-theory and quadratic forms”, Inventiones Mathematicae 9 (4): 318–344, doi:10.1007/BF01425486, ISSN 0020-9910 
• Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies, "72", Princeton, NJ: Princeton University Press  (lägre K-grupper)
• Quillen, Daniel (1973), ”Higher algebraic K-theory. I”, Algebraic K-theory, I: Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972), Lecture Notes in Math, "341", Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 85–147, doi:10.1007/BFb0067053, ISBN 978-3-540-06434-3 
• Quillen, Daniel (1975), ”Higher algebraic K-theory”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), Vol. 1, Montreal, Quebec: Canad. Math. Congress, s. 171–176  (Quillens Q-konstruktion)
• Quillen, Daniel (1974), ”Higher K-theory for categories with exact sequences”, New developments in topology (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972), London Math. Soc. Lecture Note Ser., "11", Cambridge University Press, s. 95–103  (relationen mellan Q-konstruktionen och pluskonstruktionen)
• Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraic K-theory and its applications, Graduate Texts in Mathematics, "147", Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94248-3, http://books.google.com/books?id=TtMkTEZbYoYC . Errata
• Seiler, Wolfgang (1988), ”λ-Rings and Adams Operations in Algebraic K-Theory”, i Rapoport, M.; Schneider, P.; Schappacher, N., Beilinson's Conjectures on Special Values of L-Functions, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-581120-0 
• Silvester, John R. (1981), Introduction to algebraic K-theory, Chapman and Hall Mathematics Series, London, New York: Chapman and Hall, ISBN 0-412-22700-2 
• Weibel, Charles (2005), ”Algebraic K-theory of rings of integers in local and global fields”, Handbook of K-theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 139–190, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0691/KZsurvey.pdf  (survey article)

Externa länkar

• Lars Hesselholt Algebraisk K-teori og sporinvarianter