Pascalmatris är inom matematiken en oändlig matris innehållande binomialkoefficienter, liknande Pascals triangel. Pascalmatriser kan uttryckas på tre olika sätt; som höger- eller vänstertriangulära matriser eller som en symmetrisk matris. Om man begränsar Pascalmatrisen till en matris av format 5×5 får man då dessa representationer:
Högertriangulär:
Vänstertriangulär:
Symmetrisk:
Matrisen
är helt enkelt en matris där kolonnerna är kolonnerna i Pascals triangel, men första elementet i en kolonn är det första nollskilda elementet i triangeln för motsvarande kolonn.
Man kan visa att
, se att spåret av de två första matriserna är:
, samt att
.
Man kan också se att
, där
står för transponat.
Pascalmatriser kan fås genom att ta matrisexponentialen av en speciell matris med särskilda element antingen i diagonalen över eller under huvuddiagonalen och nollor på alla andra platser, där elementet på rad
är
. Exempel:
![{\displaystyle L_{6}=\exp {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\1&2&1&0&0&0\\1&3&3&1&0&0\\1&4&6&4&1&0\\1&5&10&10&5&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfb23af7871c5a88d80e7c1a4ac6b3df0a280bd)
och
konstrueras likartat, men matrisen som man utgår ifrån har elementen i superdiagonalen. Man kan sedan konstruera
. Konstruktionen gäller för alla
, observera dock att
i allmänhet inte gäller då
är matriser, så man måste räkna ut två matrisexponentialer om man vill veta
, eller utnyttja att
.