Legendres chifunktion

Inom matematiken är Legendres chifunktion, uppkallad efter Adrien-Marie Legendre, en speciell funktion som definieras som den oändliga serien

\chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.

Den kan skrivas enkelt med hjälp av polylogaritmen som

\chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].

Speciella värden

{\begin{matrix}\chi _{2}(\mathrm {i} )&=&\mathrm {i} \cdot G\\\chi _{2}({\sqrt {2}}-1)&=&{\frac {1}{16}}\pi ^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\ln({\sqrt {2}}+1)\right)^{2}\\\chi _{2}({\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1))&=&{\frac {1}{12}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}\left(\ln({\sqrt {5}}+1)\right)^{2}\\\chi _{2}({\sqrt {5}}-2)&=&{\frac {1}{24}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}\left(\ln({\sqrt {5}}+1)\right)^{2}\\\chi _{2}(-1)&=&-{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\\\chi _{2}(1)&=&{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\end{matrix}}

\int _{0}^{\pi /2}\arctan(r\sin \theta )d\theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta =2\chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)

\int _{0}^{\pi /2}\arctan(p\sin \theta )\arctan(q\sin \theta )d\theta =\pi \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)

\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {dxdy}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta )\qquad {\rm {om}}~~|\alpha \beta |\leq 1

Dirichlets lambdafunktion är ett specialfall av Legendres chifunktion

\lambda (n)=\chi _{n}(1)\,

\beta (n)={\frac {1}{\rm {i}}}\chi _{n}(\mathrm {i} ).

Legendres chifunktion är ett specialfall av Lerchs transcendent, nämligen

\chi _{n}(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^{2},n,1/2).\,

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Legendre chi function, 24 november 2013.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Legendresche Chi-Funktion, 24 november 2013.