Serie (matematik)

En serie är inom matematiken en addition av ett oändligt antal termer.

Om termerna närmar sig noll tillräckligt fort kan summan av en serie vara ändlig. Man säger då att serien konvergerar.

Termerna i serien utgörs oftast av olika typer av matematiska uttryck som beror på ordningstalet i serien.

Definition

Seriens summa definieras som gränsvärdet av seriens delsummor. Summan av serien med termer a_n noteras symbolisk som

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{k\rightarrow \infty }\sum _{n=0}^{k}a_{n}$

där

$s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}$

är en delsumma. Om gränsvärdet inte existerar sägs serien divergerar.

Ett exempel är talföljden a_n=1/2ⁿ, som har delsummor s₀=1; s₁=1+0,5=1,5; s₂=1+0,5+0,25=1,75...; man kan visa att s_k=2-1/2^k och att den tillhörande serien därmed konvergerar

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=2$

Det finns serier som är divergenta i den vanliga meningen men ändå tilldelas en summa med hjälp av andra, svagare, definitioner av en series summa. Bland dessa kan nämnas Cesàrosummering, Abelsummering och Borelsummering. Även analytisk fortsättning kan användas för att tilldela serier summor.

Se även

• Fourierserie
• Teleskoperande serie
• Harmoniska serien
• Potensserie

Vidare läsning

• Persson, Arne; Böiers Lars-Christer (2010). Analys i en variabel (3. uppl.). Lund: Studentlitteratur. ISBN 9789144067650 . - [1] sid. 176-177
• Eriksson, Folke; Larsson, Eric; Wahde, Gösta (1996). Matematisk analys med tillämpningar, Del 3 (2. [rev.] uppl.). Göteborg . - [2] sid. 54
• Spanne, Sven (2005). System och transformer. I, Tidsdiskreta lineära system och komplex analys. Lund: Matematikcentrum, Lunds tekniska högskola. Libris 10303365