Ett komplext vektorrum har många likheter med det "vanliga" reella vektorrummet. Den största skillnaden är att skalärerna är komplexa tal. Vanliga beteckningar för reella vektorrum är
medan komplexa vektorrum ofta betecknas med
. Fortfarande bygger det komplexa vektorrummet på linjära strukturer med addition och multiplikation likt det reella fast med några få skillnader.
![{\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in \mathbb {C} ^{n}\Rightarrow {\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}\in \mathbb {C} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43395c57e62af68918704adc4342af8bd1bbcf2)
samt att
.
Som vi ser tillåts konstanten
vara ett komplext tal.
Med hjälp av addition och multiplikation definieras ett komplext vektorrum
av följande:[1]
gäller att ![{\displaystyle {\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57acbf027e88307053e173450c865dcfbecf0d02)
gäller att ![{\displaystyle {\boldsymbol {u}}+({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})+{\boldsymbol {w}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043f4e6d27893eb3a3b60d8fad3aad4d10a9bbe8)
sådant att
gäller att ![{\displaystyle {\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}+{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2a1ef68b81926e5400b586c68cf8fa25624a3b)
sådant att ![{\displaystyle {\boldsymbol {u}}+(-{\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3adc0c5b37659f1376f639be3b152e8c590becc)
gäller att ![{\displaystyle {\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe50d0ab2011432ab7d3aa8e667072aa686ed8a)
och
gäller att ![{\displaystyle \alpha {\boldsymbol {u}}\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ef0a2ea9bf84ea506b8631c34cae0cb9203e1d)
och
gäller att ![{\displaystyle \alpha ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})=\alpha {\boldsymbol {u}}+\alpha {\boldsymbol {v}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd1887e672c7eaf5b8ad703430bdaa8b750ec69)
och
gäller att ![{\displaystyle (\alpha +\beta ){\boldsymbol {u}}=\alpha {\boldsymbol {u}}+\beta {\boldsymbol {u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b14cc0aba9f94fd44e5ba5e9d1a820b3443331c)
och
gäller att ![{\displaystyle (\alpha \beta ){\boldsymbol {u}}=\alpha (\beta {\boldsymbol {u}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe3dd7537bb66bca8f6ea14539ec67ddb552cb6)
gäller att ![{\displaystyle 1{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e4abebad7660ed67f8a863584f6f3b450e4b5f)
Komplexa underrum definieras på samma sätt som reella underum.
Definitionen av skalärprodukt i ett komplext vektorrum är likt den för reella vektorrum.[2]
Om
![{\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in \mathbb {C} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5f75e85d66a6e6ef7e8951bffa55c49563c3ab)
så är
![{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}=u_{1}{\overline {v}}_{1}+u_{2}{\overline {v}}_{2}+...+u_{n}{\overline {v}}_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bba490d76ab935085f1969513404c387857f013)
där
![{\displaystyle {\overline {v}}_{1},...,{\overline {v}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2091635ae02de78ccb6b0125cbd7951fdb297af5)
är komplexkonjugatet till
![{\displaystyle v_{1},...,v_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed315d96db6db7b0f8d128d1347e287935132df)
Notera att om
och
skulle tillhöra
är definitionen av skalärprodukt den samma som för reella vektorrum, ty komplexkonjugatet förändras inte om imaginärdelen av det komplexa talet är noll.
Låt
och
vara vektorer i
och
vara ett komplext tal. Då gäller följande egenskaper för skalärprodukt:
![{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}={\overline {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c2962f0918d5fe3ced7a8779815a01331d6fb1)
![{\displaystyle ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})\cdot {\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d221d7d3e5667b3706a2574621ef99758e6107ed)
![{\displaystyle (\alpha {\boldsymbol {u}})\cdot {\boldsymbol {v}}=\alpha ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d040d1b7a284763c7a99e09fc198cdd4b8be2c3d)
![{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot (\alpha {\boldsymbol {v}})={\overline {\alpha }}({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eca361cd692663ed8dd5045d84a0d9c0f8c9cb8)
![{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a892ba1bc506d8d591097759cbeaf2242ce7a4d9)
![{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}=0\Leftrightarrow {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24ef6d94d801072be0c7c590aa445054e15df80)
Definitionen och egenskaperna ovan är den vanligaste definition för skalärprodukt i ett komplext vektorrum. Men den kan bli mer generell genom några få symboländringar och kallas då komplex inre produkt. Ett komplext vektorrum med en komplex inre produkt kallas komplext inre produktrum eller unitärt rum.
Definitionen av längden (eller normen) av en vektor i ett komplext rum är samma som för ett reellt rum.
![{\displaystyle ||{\boldsymbol {u}}||={\sqrt {{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}}}={\sqrt {u_{1}{\overline {u_{1}}}+u_{2}{\overline {u_{2}}}+...+u_{n}{\overline {u_{n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc13c19bedc606a280b5bf0ff32c264e36a6e977)
Notera att
kan med hjälp av konjugatregeln skrivas som
![{\displaystyle u_{n}{\overline {u_{n}}}=(a_{n}+b_{n}i)(a_{n}-b_{n}i)=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}i^{2}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15581865f720042994d4cf0b9845acd66903d801)
Därmed har vi visat egenskap nummer 5 ovan.
Avbildningar i komplexa vektorrum kan likt avbildningar i reella vektorrum beskrivas av matriser, till exempel som
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}i&\cdots &a_{n1}+b_{n1}i\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}i&\cdots &a_{mn}+b_{mn}i\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e7990cc40837600a6bf0dda582c62c80aa4f2e)
I reella vektorrum är ortogonala och symmetriska matriser väsentliga. I komplexa vektorrum finns motsvarande matriser. Dessa kallas unitära respektive hermiteska matriser.[3]
En komplex matris
kallas unitär om
där ![{\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e96e49cd61aba42533bd8b43fa5c7639d90568)
det vill säga, A är lika med sitt komplexkonjugerade transponat.
Om
är komplexa matriser och
är ett komplext tal gäller
![{\displaystyle (A^{*})^{*}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45fd731d86459b72b1335bf6bd54658c81332db)
![{\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+b^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47152805ca9b608309a75f19a7392ede1cc11055)
![{\displaystyle (\alpha A)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59544f7e50cfcca8db3e8ae585d8b04efeb28db4)
![{\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe5e0c9a5c364f7667bda69a8cc3398b75d56c2)
Vidare gäller att
- en n
n matris A är unitär
A:s radvektorer (eller kolonnvektorer) är en ortogonal bas i
.
En komplex kvadratisk matris
kallas hermitesk om
![{\displaystyle A=A^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f737c2418b81620e8118c3de35b2392e3eb4498a)
Sats 1
Om
är en hermitek matris, så är dess egenvärden reella.
Bevis
Om
är ett egenvärde till
med tillhörande egenvektor
.
Om ekvationen
multipliceras med
så fås
![{\displaystyle =\lambda (a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8f26fdb22a6e0c4e89b609c92a2fd7fc8f391e)
Vidare framgår att
![{\displaystyle ({\boldsymbol {v}}^{*}A{\boldsymbol {v}})^{*}={\boldsymbol {v}}^{*}A^{*}({\boldsymbol {v}}^{*})^{*}={\boldsymbol {v}}^{*}A{\boldsymbol {v}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d038c44189858bbdb998b95050890f7675e63b)
Av likheten
![{\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{*}A{\boldsymbol {v}}=\lambda (a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3d7a7d970289b828a8e673f6219fb624b606b0)
och att
är en hermitesk
matris följer att
måste vara reell.
VSB.
Det finns en liknande sats för reella vektorrum, men i det fallet måste matrisen vara symmetrisk istället för hermitesk.
Sats 2
Om
är en
hermitesk matris så är
- egenvektorerna för motsvarande egenvärden ortogonala.
är unitärt diagonaliserbar.
Bevis (1)
Låt
och
vara egenvektorer till motsvarande egenvärden,
och
.
Eftersom
och
får vi följande ekvationer från matrisprodukten
![{\displaystyle (A{\boldsymbol {v}}_{1})^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {v}}_{1}^{*}A^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {v}}_{1}^{*}A{\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {v}}_{1}^{*}\lambda _{2}{\boldsymbol {v}}_{2}=\lambda _{2}{\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b897975f3e3c360bc1564ec4c6f89916cb782d1e)
![{\displaystyle (A{\boldsymbol {v}}_{1})^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}=(\lambda _{1}{\boldsymbol {v}}_{1})^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {v}}_{1}^{*}\lambda _{1}{\boldsymbol {v}}_{2}=\lambda _{1}{\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767f61a79d960ff6fc6b492b1b95952749f548d9)
Av detta fås att
![{\displaystyle \lambda _{2}{\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}-\lambda _{1}{\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}=0\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eddf0eabb01df3ffd9f82d36a403ca2e915a27f)
![{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f5da20aadfbf3b5648770d93b005163c87f9da)
Eftersom
.
VSB.
Notera att egenvektorerna hos en symmetrisk matris också är ortogonala mot varandra.
Bevis (2)
Se spektralsatsen.
- ^ W W L CHEN 2008: "Linear Algebra, Chapter 12.1, Complex Vector Space - complex inner products" Arkiverad 11 juni 2014 hämtat från the Wayback Machine., Macquarie University, Sydney, läst maj, 2014.
- ^ "Complex Vector Spaces, chapter 8.4, Complexa vector space and inner product": Cengage Learning, läst maj, 2014.
- ^ "Complex Vector Spaces, chapter 8.5, Unitary and hermitian matrices": Cengage Learning, läst maj, 2014.