Komplexa tal

Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (Re) och en imaginärdel (Im)

De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

$z\ =a+\mathrm {i} b$

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten med egenskapen

$\ \mathrm {i} ^{2}\ ={-1}$

Om b ≠ 0 så är z ett icke reellt komplext tal (till exempel 2 + 4i), och om a = 0 kallas talet rent imaginärt (till exempel 4i).

Mängden av komplexa tal betecknas med C eller ℂ, och utgör en kropp.

Definitioner

De första matematikerna som på 1500-talet började räkna med komplexa tal ansåg att kvadratrötter ur negativa tal egentligen inte fanns, utan var "imaginära" (det vill säga "inbillade"), medan de riktiga talen var "reella" (alltså "verkliga"). Detta språkbruk lever kvar, trots att det sedan länge är känt att komplexa tal är precis lika "verkliga" som de reella talen. Mängden av komplexa tal C kan nämligen formellt definieras med hjälp av enbart reella tal och de vanliga aritmetiska operationerna för dessa. Man definierar då C som mängden R²av ordnade talpar (a, b), där a och b tillhör den reella talmängden R, tillsammans med operatorerna + och ·, vilka ges av föreskrifterna

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

och

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)$.

Definierad på detta sätt utgör C en (algebraisk) kropp, i likhet med mängden R av reella tal. Det innebär att de fyra vanliga räknesätten, alltså addition, subtraktion, multiplikation och division, är definierade på C och uppfyller de vanliga reglerna (så att bland annat addition och multiplikation är associativa och kommutativa operationer, multiplikation är distributiv med avseende på addition och subtraktion, och subtraktion respektive division kan ses som addition respektive multiplikation med inversa element).

Till skillnad från de reella talen saknar de komplexa talen en naturlig ordning. De reella talen kan tänkas ordnade på en tallinje, med de mindre talen till vänster om de större talen. De komplexa talen får man i stället tänka sig i ett talplan, där talet (a, b) tolkas som punkten med koordinaterna a och b. Dessa koordinater kallas för realdelen respektive imaginärdelen för talet (a, b). Observera särskilt att både realdelen a och imaginärdelen b är reella tal.

Det komplexa talplanet kallas också för Arganddiagrammet.

Delmängden av de komplexa talen av typen (a, 0) motsvarar de reella talen, så att (a, 0) kan "identifieras med" a och den imaginära enheten i är det komplexa talet (0, 1). Med dessa konventioner och med definitionerna av multiplikation och addition ovan, får man

$(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)\cdot (0,1)=a+b\cdot \mathrm {i} =a+b\mathrm {i}$

Alla tal (0, b), det vill säga alla tal b⋅i, sägs vara rent imaginära. De rent imaginära talen blandas ibland ihop med "imaginärdelar", men imaginärdelen av det rent imaginära talet bi är enligt definitionen ovan det reella talet b.

Rektangulär form

Representationen av ett komplext tal på formen

$z\ =a+b\,\mathrm {i}$

kallas rektangulär form.

För

$z=a+b\,\mathrm {i} =(a,\,b)$

är projektionsfunktionerna definierade som

$\mathrm {Re} (z)=a:$ realdelen av z

och

$\mathrm {Im} (z)=b:$ imaginärdelen av z.

Polär form

Ett komplext tal framställt i polär form där r är talets absolutbelopp och φ är talets argument

Enligt Eulers formel gäller

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos \varphi +\mathrm {i} \,\sin \varphi$

vilket innebär att ett allmänt komplext tal kan skrivas som

$\ z=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=r\ (\cos \varphi \ +\mathrm {i} \,\sin \varphi )$

där r, absolutbeloppet, är avståndet till origo i det komplexa talplanet och φ är vinkeln mellan den reella axeln och en linje genom origo och talets punkt i det komplexa talplanet.

Vinkeln φ kallas argumentet (arg) för

$z=a+b\mathrm {i}$

och bestäms enligt

$\varphi =\arg z={\begin{cases}\arctan {\cfrac {b}{a}}&\quad a>0\\\arctan {\cfrac {b}{a}}+\pi &\quad b\geq 0,\ a<0\\\arctan {\cfrac {b}{a}}-\pi &\quad b<0,\ a<0\\+{\cfrac {\pi }{2}}&\quad b>0,\ a=0\\-{\cfrac {\pi }{2}}&\quad b<0,\ a=0\\{\text{odefinierad}}&\quad b=0,\ a=0\end{cases}}$

Intervallet för argumentet är (−π, π], vilket kallas principalargumentet, kan mappas till [0, 2π) genom att 2π adderas till negativa värden. Argumentet kan omfatta alla intervall som är en heltalsmultipel av 2π.

För datorbaserade beräkningar kan det vara lämpligt att använda funktionen atan2(b, a) om denna är implementerad.

Absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

eller

$r={\sqrt {\mathrm {Re} (z)^{2}+\mathrm {Im} (z)^{2}}}$

För absolutbeloppet gäller

$|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|$

$\left|{z_{1} \over z_{2}}\right|={|z_{1}| \over |z_{2}|}$

$|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|\$ (triangelolikheten)

$|z_{1}-z_{2}|\geq ||z_{1}|-|z_{2}||\$

$|z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}$

Konjugat

Konjugatet till ett komplext tal z = a + bi definieras som

${\bar {z}}=a-b\,\mathrm {i}$

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:

Om talet är givet på polär form kan konjugatet bildas genom teckenbyte för argumentet:

${\overline {z}}={\overline {r\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}}=r\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \varphi }$

För konjugatet gäller

${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\$

${\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\$

$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$

$z{\bar {z}}={\bar {z}}z=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$

De reella och imaginära delarna kan extraheras med hjälp av konjugatet:

$\mathrm {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}(z+{\bar {z}})$

$\mathrm {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2\mathrm {i} }}(z-{\bar {z}})$

Räkneregler

Komplex addition

Multiplikation med i motsvarar en rotation av 90 grader moturs. Division med i motsvarar en rotation av 90 grader medurs

Rektangulär form

Addition

$\,(a+b\,\mathrm {i} )+(c+d\,\mathrm {i} )=(a+c)+(b+d)\,\mathrm {i}$

De reella och de imaginära delarna adderas var för sig.

Subtraktion

$\,(a+b\,\mathrm {i} )-(c+d\,\mathrm {i} )=(a-c)+(b-d)\,\mathrm {i}$

I analogi med addition, subtraheras de reella och imaginära delarna var för sig.

Multiplikation

${\begin{aligned}\,(a+b\,\mathrm {i} )(c+d\,\mathrm {i} )&=ac+bc\,\mathrm {i} +ad\,\mathrm {i} +bd\,\mathrm {i} ^{2}=\\&=(ac-bd)+(bc+ad)\,\mathrm {i} \\\end{aligned}}$

Division

${a+b\,\mathrm {i} \over c+d\,\mathrm {i} }={(a+b\,\mathrm {i} )(c-d\,\mathrm {i} ) \over (c+d\,\mathrm {i} )(c-d\,\mathrm {i} )}={ac+bd \over c^{2}+d^{2}}+{bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\,\mathrm {i}$

Exempel:

${\begin{aligned}{2-\mathrm {i} \over 3+\mathrm {i} }&={(2-\mathrm {i} )(3-\mathrm {i} ) \over (3+\mathrm {i} )(3-\mathrm {i} )}={6-2\mathrm {i} -3\mathrm {i} +\mathrm {i} ^{2} \over 9-\mathrm {i} ^{2}}=\\&={5-5\mathrm {i} \over 10}={1-\mathrm {i} \over 2}={1 \over 2}-{1 \over 2}\mathrm {i} \\\end{aligned}}$

Bråket förlängs med nämnarens konjugat. Därmed elimineras nämnarens imaginära del och kvoten fås på formen a + bi.

Polär form

Låt

$\ z_{1}=r_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi _{1}};\quad z_{2}=r_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi _{2}}$

Då gäller enligt räknereglerna för exponentiella tal

• $\ z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi _{1}+\varphi _{2})}$
• $\ {z_{1} \over z_{2}}={r_{1} \over r_{2}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

Av detta följer

• $\ \arg {z_{1}z_{2}}=\arg z_{1}+\arg z_{2}$
• $\ \arg {z_{1} \over z_{2}}=\arg z_{1}-\arg z_{2}$

Exempel: Om z skrivs i polär form som

$z=r(\cos \varphi +\mathrm {i} \,\sin \varphi )$

är n:te roten av z

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{n}}+\mathrm {i} \,\sin {\frac {\varphi }{n}}\right)$

Övrigt

För beräkningar utförda för hand är det lämpligt att använda den rektangulära formen för addition och subtraktion och den polära formen för multiplikation och division.

Funktioner av komplexa tal

Färghjulsgraf av $\scriptstyle {\sin(1/z)}$. Svarta partier representerar komplexa funktionsvärden som har stora absolutbelopp

De analytiska funktioner som är definierade för de reella talen är också definierade för de komplexa talen. Några av dem är entydigt definierade, andra är flervärda funktioner.

Exponentialfunktionen

Enligt de kända serieutvecklingarna för reella x av

$\sin x=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+...$

$\cos x=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+...$

$\mathrm {e} ^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+...$

framgår att exponentialfunktionen e^z för komplexa z enligt

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x$

kan definieras genom serien

$\mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

Serien är konvergent för alla z.

Logaritmfunktionen

Utifrån exponentialfunktionen kan den komplexa logaritmen definieras och är en flervärd funktion.

Den komplexa logaritmen definieras som

$\log \,z=\log |z|+\mathrm {i} (\arg z+2n\pi )$

och de flesta logaritmlagar som gäller för de reella talen gäller också för den komplexa logaritmen.

Med hjälp av logaritmfunktionen kan till exempel roten av komplexa tal bildas då

$\ z^{\frac {1}{2}}=\mathrm {e} ^{\frac {\log z}{2}}$

vilket lätt kan beräknas.

Observera att med denna definition, erhålls två lösningar även när z är ett reellt tal.

Trigonometriska funktioner

Trigonometriska funktioner av komplexa tal är entydigt definierade enligt

$\sin z={{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}} \over {2\mathrm {i} }}$

$\cos z={{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}} \over {2}}$

$\tan z={{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}} \over \mathrm {i} \,(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z})}$

Funktionernas inverser blir som för reella tal flervärda funktioner.

Seriers konvergens

Antag en summa av n komplexa tal:

$S_{n}=\sum _{j=1}^{n}c_{j}=c_{1}+c_{2}+\dots +c_{n}\quad n=1,2,\dots$

Om följden $\left\{S_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ har ett gränsvärde S är den oändliga serien $\sum _{j=1}^{\infty }c_{j}$ konvergent med summan S:

$\sum _{j=1}^{\infty }c_{j}=S$

Termerna c_j kan skrivas

$c_{j}=a_{j}+\mathrm {i} \,b_{j}\quad j=1,\dots ,n\quad a_{j},b_{j}\in \mathbb {R}$

och således

$S_{n}=\sum _{j=1}^{n}c_{j}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}+\mathrm {i} \sum _{j=1}^{n}b_{j}$

Serien $\left\{S_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ konvergerar, om och endast om, delserierna konvergerar och då är

$\lim _{j\,\rightarrow \,\infty }c_{j}=0$

Matriser

2×2-matriser av formen

$Z={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}=a{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}=a\cdot E+b\cdot I;\quad a,b\in \mathbb {R}$

kan användas för att representera komplexa tal där E är en enhetsmatris och matrisen I motsvarar den imaginära enheten. Då gäller

$\mathrm {Re} (Z)=a$

$\mathrm {Im} (Z)=b$

$I^{2}=-E;\quad {\text{analogt med }}\mathrm {i} ^{2}=-1$

$|Z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {\det Z}}$

Reella tal motsvaras av diagonalmatrisen

${\begin{bmatrix}a&0\\0&a\end{bmatrix}}$

De linjära avbildningar som svarar mot dessa matriser spänner upp ℝ².

Användningsområden

Komplexa tal är grundläggande för delar av matematiken. Enligt algebrans fundamentalsats har en ekvation av typen p(x) = 0, där p är ett polynom av graden n, exakt n komplexa rötter. Detta medför att de komplexa talen utgör en algebraiskt sluten kropp. Om p endast har reella koefficienter och x är en rot till p(x) = 0, så är även konjugatet till x en rot.

Komplexa tal inom fysiken

Komplexa tal är mycket användbara inom fysiken, till exempel för att beskriva vågrörelser eller svängningar inom elektromagnetismen. Detta på grund av att man med komplexa tal samtidigt hanterar både absolutbelopp och fasvinkel, vilket är till stor nytta för att beräkna belopp och fasförskjutningar för spänningar och strömmar.

Med jω-metoden (j-omega-metoden) behandlas växelströmsproblem i nära analogi med motsvarande likströmsproblem genom införande av komplexa impedanser.

Inom elektrotekniken används ofta komplexa tal i olika slag av transformer, som till exempel Fouriertransformen och Laplacetransformen, för att underlätta vid beräkningar av växelströmsförlopp.

Inom kvantmekaniken är de grundläggande vågfunktionerna komplexa.

I strömningsmekanik används komplexa funktioner för konforma avbildningar.

Historik

Under 1500-talet förekom kvadratrötter ur negativa tal i de lösningar till tredje- och fjärdegradsekvationer som upptäcktes av de italienska matematikerna Niccolo Fontana Tartaglia och Gerolamo Cardano. Även om man bara var intresserade av reella lösningar, ledde dessa formler ibland till sådana kvadratrötter som mellanresultat.

Namnet imaginära för sådana tal myntades av René Descartes på 1600-talet och man betraktade dem länge med stor misstänksamhet. Komplexa tal accepterades först efter att deras geometriska tolkning hade beskrivits och publicerats av Caspar Wessel 1799. Denna beskrivning återupptäcktes flera år senare av bland andra Carl Friedrich Gauss. Den moderna definitionen som ett par av reella tal infördes under 1800-talet av William Rowan Hamilton.

Flera av Leonhard Eulers mest betydande upptäckter vilar väsentligt på införande av komplexa tal. Abels skapelse, de elliptiska funktionerna, förde än mer de komplexa talen i förgrunden inom matematisk forskning. Så blev ytterligare fallet, när den moderna funktionsteorin framväxte ur Abels, Cauchys, Weierstrass och Riemanns arbeten.

Carl Friedrich Gauss och Karl Weierstrass arbeten har visat, att införande av högre komplexa tal, bildade av flera än två grundenheter, inte medför fördelar jämförliga med dem som vinns genom införande av de av två grundenheter bildade komplexa talen.

Likheter och skillnader med vektorer

Komplexa tal och tvådimensionella reella vektorer adderas enligt samma regler (är isomorfa under addition), absolutbeloppen är desamma, och båda kan skalas med ett reellt tal.

Vektorer har en inre produkt som är ett reellt tal. För komplexa tal är det enkelt att skapa en funktion motsvarande skalärprodukten, men en sådan är inte en bärande del av de komplexa talens struktur. En möjlig sådan funktion är

$s(a,b)={{a\cdot {\bar {b}}+{\bar {a}}\cdot b} \over 2}$.

Den viktigaste skillnaden är att multiplikation inte är definierad för vektorer i den meningen att en multiplikation av två vektorer resulterar i en tredje vektor.

Se även

Den här artikeln ingår i boken:  Matematik

• Kvaternion
• Imaginärt tal
• Komplex analys
• Komplex vektor
• Polynom

Referenser

Källor

• Complex Analysis for Mathematics and Engineering av John H. Mathews & Russel W. Howell

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Komplexa tal.
  Bilder & media