Triangelolikheten

Exempel på triangelolikheten

Triangelolikheten är en matematisk olikhet enligt vilken längden av en viss sida i en triangel är mindre än(eller lika med) summan av längderna av de övriga sidorna men större än(eller lika med) differensen mellan dessa sidor (brukar kallas den omvända triangelolikheten).

Den är giltig i en stor uppsättning rum, bland annat för de reella talen.

Normerat vektorrum

I ett normerat vektorrum V kan triangelolikheten skrivas

$\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|$

för alla

$\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$

Likhet gäller om och endast om x och y är parallella.

Reella tallinjen

Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed som

$|x+y|\leq |x|+|y|$

Här gäller likhet om x och y har samma tecken.

Komplexa talplanet

Inom komplex analys gäller olikheten

$|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|$

med likhet om

$\arg(z_{1})=\arg(z_{2})$.

Dessutom (se följdsatsen nedan) gäller

$|z_{1}+z_{2}|\geq {\Big |}|z_{1}|-|z_{2}|{\Big |}$

med likhet om

$\arg(z_{1})=-\arg(z_{2})$.

Metriska rum

Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken d i ett metriskt rum ℳ.

Den innebär att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q:

$d(p,q)\leq d(p,r)+d(r,q)$

där d(p, q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen d(p, q) : ℳ → ℝ kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet och inte tvärt om.

Följdsats

Ur triangelolikheten följer att

${\Big |}\|\mathbf {x} \|-\|\mathbf {y} \|{\Big |}\leq \|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|$

och

$|d(p,r)-d(r,q)|\leq d(p,q)$

vilket betyder att normen ||a|| och avståndsmåttet d(a,b) är Lipschitz-kontinuerliga och därmed även kontinuerliga.

Serier och integraler

Triangelolikheten har ett antal följdsatser.

Med induktion man kan visa att

$\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$

för x_i ∈ ℝ och n ∈ ℕ.

För absolutkonvergenta serier, det vill säga för

$\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|\in [0,\infty )$

finns en triangelolikhet:

$\left|\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|$.

För en integral, exempelvis Riemannintegralen, kan man med definitionen av supremum och infimum visa att det finns en triangelolikhet

$\left|\int _{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx$,

om f(x) är Riemannintegrerbar.

Se även

• Triangel
• Cauchy–Schwarz olikhet
• Pythagoras sats