Se Eulers formel (geometri) för det resultat gällande konvexa polyedrar som även kallas "Eulers formel" Eulers formel på enhetscirkeln i det komplexa talplanet . Eulers formel inom komplex analys , uppkallad efter Leonhard Euler , kopplar samman exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna :[ 1]
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle \ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }=\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta }
En enkel konsekvens av Eulers formel är Eulers identitet
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle \ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0}
som förbluffat matematikstuderande genom tiderna. Formeln relaterar fyra tal från helt olika delar av matematiken: talet
e
{\textstyle e}
analysen , talet
π
{\textstyle \pi }
geometrin , den imaginära enheten ,
i
{\textstyle i}
komplexa talen och talet 1 från aritmetiken .
Formeln kan härledas ur taylorutvecklingen av
e
z
{\displaystyle e^{z}}
z
=
i
θ
{\textstyle z=i\theta }
Eulers formler , vilka istället uttrycker de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus med hjälp av exponentialfunktionen:[ 1]
sin
θ
=
e
i
θ
−
e
−
i
θ
2
i
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2i}}}
cos
θ
=
e
i
θ
+
e
−
i
θ
2
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2}}}
Taylorserien för den reella exponentialfunktionen
e
x
{\textstyle e^{x}}
e
x
=
1
+
x
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
Detta motiverar definitionen av den komplexa exponentialfunktionen enligt
e
z
=
1
+
z
1
!
+
z
2
2
!
+
z
3
3
!
+
⋯
{\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots }
Funktionerna
e
x
{\textstyle e^{x}}
cos
(
x
)
{\textstyle \cos(x)}
sin
(
x
)
{\textstyle \sin(x)}
x
{\textstyle x}
reellt tal ) kan taylorutvecklas runt noll, vilket ger serierna
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
⋯
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{x}&{}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\\cos x&{}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}
För komplexa tal
z
{\textstyle z}
x
{\textstyle x}
z
{\textstyle z}
x
{\textstyle x}
z
{\textstyle z}
z
{\textstyle z}
konvergensradierna är oändliga . De tre serierna är absolutkonvergenta för alla
z
{\textstyle z}
e
i
z
=
1
+
i
z
+
(
i
z
)
2
2
!
+
(
i
z
)
3
3
!
+
(
i
z
)
4
4
!
+
(
i
z
)
5
5
!
+
(
i
z
)
6
6
!
+
(
i
z
)
7
7
!
+
(
i
z
)
8
8
!
+
⋯
=
1
+
i
z
−
z
2
2
!
−
i
z
3
3
!
+
z
4
4
!
+
i
z
5
5
!
−
z
6
6
!
−
i
z
7
7
!
+
z
8
8
!
+
⋯
=
(
1
−
z
2
2
!
+
z
4
4
!
−
z
6
6
!
+
z
8
8
!
−
⋯
)
+
i
(
z
−
z
3
3
!
+
z
5
5
!
−
z
7
7
!
+
⋯
)
=
cos
z
+
i
sin
z
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{iz}&{}=1+\mathrm {i} z+{\frac {(\mathrm {i} z)^{2}}{2!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{3}}{3!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{4}}{4!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{5}}{5!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{6}}{6!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{7}}{7!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+\mathrm {i} z-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {\mathrm {i} z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {\mathrm {i} z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {\mathrm {i} z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+\mathrm {i} \left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos z+\mathrm {i} \sin z\end{aligned}}}
Notera att om
z
{\textstyle z}
x
{\textstyle x}
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{ix}=\cos {x}+\mathrm {i} \sin {x}}
^ [a b Ekbom, Lennart (1978). Tabeller och formler N T Te ISBN 91-24-27604-9
Wikimedia Commons har media som rör Eulers formel.