Harmoniskt medelvärde

Harmoniskt medelvärde är ett av de tre Pythagoreiska medelvärdena och används främst för att beskriva tillväxtfenomen.

Definition

Diskret fördelning

Det harmoniska medelvärdet H av de positiva reella talen x₁, x₂, ..., x_n är definierad som det inverterade värdet av det aritmetiska medelvärdet av reciprokerna till x₁, x₂, ..., x_n:

$H=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}\right)^{-1}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}.$

Exempel

Det harmoniska medelvärdet av 1, 2, och 4 är

${\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{3}}({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})}}={\frac {12}{7}}=1.{\overline {714285}}$

Kontinuerlig fördelning

För en kontinuerlig fördelning är det harmoniska medelvärdet

$H={\cfrac {1}{\int {\cfrac {1}{x}}f(x)\,dx}}$

Viktat harmoniskt medelvärde

Om en mängd av vikter $w_{1},\dotsc ,w_{n}$ är associerad med en datamängd $x_{1},\dotsc ,x_{n}$, definieras det viktade harmoniska medelvärdet som

${\cfrac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{\cfrac {w_{i}}{x_{i}}}}}$

Det harmoniska medelvärdet kan ses som ett specialfall med vikterna = 1.

Tillämpningar

Harmoniskt medelvärde används inom andra vetenskaper som till exempel elektrofysik och geologi. Inom geologin används harmoniskt medelvärde för bestämning av vattengenomsläppigheten i olika jordarter.

Exempel

Antag att en person färdas sträckorna s₁,..., s_n med hastigheterna v₁,..., v_n. Genomsnittshastigheten v för hela resan ges av det viktade harmoniska medelvärdet

$v=\sum _{i=1}^{n}{s_{i}}\left[\sum _{i=1}^{n}{s_{i}v_{i}^{-1}}\right]^{-1}$

Medelhastigheten för en bil som kör en 120 km lång sträcka fram och tillbaka mellan hemmet och sommarstugan, först med hastigheten 60 km/h till sommarstugan och sedan tillbaka med hastigheten 120 km/h, är lika med det harmoniska medelvärdet 80 km/h, inte det aritmetiska medelvärdet som är 90 km/h.

Anledningen är att det tar två timmar att köra 120 km med hastigheten 60 km/h och att köra samma sträcka med hastigheten 120 km/h tar en timma. Totalt har bilen kört 240 km under 3 timmar och om vi delar 240 km med 3 timmar blir detta 80 km/h, vilket är lika med det harmoniska medelvärdet:

$v={2 \over {{1 \over 60}+{1 \over 120}}}=80$

Jämförelse med andra medelvärden

Geometrisk jämförelse av medelvärden

Medelvärden av två tal, a och b, kan konstrueras geometriskt med hjälp av en halvcirkel med diametern a + b.

A: Aritmetiska medelvärdet

Q: Kvadratiska medelvärdet

H: Harmoniska medelvärdet

G: Geometriska medelvärdet

Det framgår att

${\bar {a}}_{Q}\geq {\bar {a}}_{A}\geq {\bar {a}}_{G}\geq {\bar {a}}_{H}$

Denna ordning gäller även för ett godtyckligt antal tal.