Ett generaliserat medelvärde är en generalisering av de vanliga aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdena.
Ett generaliserat medelvärde av de positiva talen
är av formen
![{\displaystyle M_{p}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{k=1}^{n}x^{p}}{n}}\right)^{1/p}=\left({\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\dots +x_{n}^{p}}{n}}\right)^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d219a4f0863b9fed16f600270ad960be6f5e73c)
Eftersom
![{\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a4c3bee95b733e1cc50bd409473a78a21b5744)
brukar man definiera
![{\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15811975b95408c4085cbc4a496cedc38f3767ba)
Ett generaliserat medelvärde är strikt, homogent, och symmetriskt.
.
Några specialfall:
- Minimum
- Harmoniskt medelvärde
- Geometriskt medelvärde
- Aritmetiskt medelvärde
- Kvadratiskt medelvärde
- Maximum
Om
gäller
.
En följd av detta är:
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}\geq {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3693187db97a5f177f2df2ed24d871a7a7446b)