Fullständig (modellteori)

Härledningsbegrepp
Medför - Följer av Bevis – Bevisbarhet Giltig - Giltighet Sund - Sundhet Konsekvent - Konsekvens Fullständig – Fullständighet Teorem Tautologi Kontradiktion Konträra satser Deduktion - Härledbarhet
Närliggande begrepp
Implikation Logisk sanning Sanning Motsägelse

Inom matematisk logik sägs en teori T vara fullständig om för varje sluten formel kan avgöras i T.

Formell definition

Låt $T$ vara en teori i ett språk S. $T$ sägs vara fullständig om för varje sluten formel $\phi \in S$ gäller antingen

$T\vdash \phi$ eller $T\vdash \neg \phi$

Detta villkor är ekvivalent med att $T$ är maximal, dvs att det inte finns någon konsistent mängd formler $T'$ så att $T\subset T'$ men $T\neq T'$.

Exempel

• Givet en modell M är mängden av formler sanna i M en fullständig teori.
• Teorin för algebraiskt slutna kroppar är fullständig.
• Teorin för en tät linjär ordning utan ändpunkter är fullständig.
• Mer allmänt är varje teori som är kategorisk i något kardinaltal fullständig.
• Teorin för differentiellt slutna kroppar är fullständig.
• Peanoaritmetiken är inte fullständig.
• Mer allmänt så är ingen rekursivt axiomatiserbar teori som interpreterar aritmetiken fullständig.