Värmeledningsekvationen

Värmeledningsekvationen, även kallad diffusionsekvationen, är en partiell differentialekvation med ett antal tillämpningar i fysiken.

Värmeledningsekvationen kan skrivas

${\frac {\partial u}{\partial t}}=k\cdot \nabla ^{2}u,$

där ${\frac {\partial u}{\partial t}}$ betecknar förändringshastigheten hos funktionen $u(\mathbf {r} ,t)$ med avseende på tiden, och $\nabla ^{2}$ betecknar laplaceoperatorn.

Värmeledningsekvationen kan användas för att beskriva värmespridning i ett kontinuum. Funktionen $u(\mathbf {r} ,t)$ betecknar då temperaturen i mediet och $k$ är materialets termiska diffusivitet.

Den endimensionella värmeledningsekvationen

Det homogena fallet

Låt funktionen $u(x,t)$ beteckna värmen i punkten $x$ vid tidpunkten $t$. Vi kan då beskriva $u(x,t)$ med hjälp av värmeledningsekvationen:

${\frac {\partial u}{\partial t}}-k\cdot \nabla ^{2}u=0$

En enkel fysikalisk tolkning av värmeledningsekvationen är att den anger temperaturen i en oändligt tunn stav av längd $l$ som ligger längs x-axeln. Låt oss även anta staven är perfekt isolerad runt om så att värmen enbart kan flöde horisontellt i staven.

Normal praxis är att också införa begynnelse- och randvillkor. Begynnelsevillkoret ges av

$u(x,0)=f(x),0<x<l$

vi låter värmen i stavens ändpunkter $x=0$ och $x=l$ ges av funktionerna $h(t)$ och $g(t)$. Randvillkoren brukar de vara av typen Dirichletvillkor som kan beskrivas enligt

$u(0,t)=h(t),t>0$

$u(l,t)=g(t),t>0$

men givetvis finns det andra villkor kan införa t.ex. Neumannvillkor.

Det inhomogena fallet

Vi studerar nu samma system som ovan men nu skulle vi vilja tillföra värme till staven. Låt funktionen $v(x,t)$ betecknar den tillförda värmen till staven i punkten $x$ vid tidpunkten $t$. Funktionen u(x,y) beskrivs då av:

${\frac {\partial u}{\partial t}}-k\cdot \nabla ^{2}u=v(x,t)$

Den n-dimensionella värmeledningsekvationen

För den n-dimensionella värmeledningsekvationen finns det $n+1$ oberoende variabler nämligen $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ och tiden $t$ och en beroende variabel $u=u(t,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ som lyder under ekvationen

${\frac {\partial u}{\partial t}}=k\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{(\partial x_{i})^{2}}}$

Lösningar till värmeledningsekvationen

För att hitta lösningar måste vi använda oss av variabelseparation. Vi antar att lösningen till $u(x,t)$ är på formen $u(x,t)=X(x)T(t)$.

Vi deriverar nu fram hur sambandet ser ut

$u'_{t}=u''_{xx}\Leftrightarrow X(x)T'(t)=X''(x)T(t)\Leftrightarrow {\frac {X''(x)}{X(x)}}={\frac {T'(t)}{T(t)}}$.

Varken höger- eller vänsterledet är beroende av $x$ eller $t$ därför måste de vara lika med någon konstant $\lambda$:

${\frac {X''(x)}{X(x)}}=\lambda$ och ${\frac {T'(t)}{T(t)}}=\lambda$

Som vi kan skriva om som

$X''(x)=\lambda X(x)$ resp. $T'(t)=\lambda T(t)$

Vi kan nu använda envariabelanalys för att få fram lösningarna till differentialekvationerna med dirchletvillkoren $u(0,t)=u(l,t)=0$. Villkoren kan fysiskt ses som att man håller ändpunkterna till en stav till $0$

$F(x)$ kommer att få tre olika typer av lösningar beroende på värden av $\lambda$:

(1) För $\lambda <0$ d.v.s. $\lambda =-\gamma ^{2}<0$ ges lösningarna av

$X(x)=A\cosh(\gamma x)+B\sinh(\gamma x)$:

Randvillkoren ger oss då:

$X(0)=0\Rightarrow A=0$

$X(l)=0\Rightarrow B=0$

Alltså existerar inga negativa egenvärden.

(2) För $\lambda =0$ ges lösningarna av.

$X(x)=Ax+B$

Randvillkoren ger oss då:

$X(0)=0\Rightarrow A=0$

$X(l)=0\Rightarrow B=0$

Den enda lösningen vi får är $X(x)=0$ och enligt definitionen av en egenfunktion är därför $\lambda =0$ inte ett egenvärde.

(3) För $\lambda >0$ d.v.s. $\lambda =\beta ^{2}>0$ ges lösningarna av:

$X(x)=A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)$

Randvillkoren ger då

$X(0)=0\Rightarrow A=0$

$X(l)=0\Rightarrow \sin(\beta l)=0\Rightarrow \beta ={\frac {n\pi }{l}}$ där $n$ ∈ Z⁺

Vi har nu de positiva egenvärdena

$\lambda _{n}=\left({\frac {n\pi }{l}}\right)^{2}$

med de tillhörande egenfunktionerna

$X_{n}(x)=B_{n}\sin \left({\frac {n\pi }{l}}x\right)$

Vi har tagit fram att $\lambda _{n}=-\beta _{n}^{2}={\frac {-n^{2}\pi ^{2}}{l}}$ så vad gäller lösningar till ${\frac {T'(t)}{T(t)}}=-\lambda$ ser vi att de ges av $T_{n}(t)=Ce^{-\beta _{n}^{2}t}=Ce^{-({\frac {n\pi }{l}})^{2}t}$

Med detta får vi nu till slut lösningarna

$u_{n}(x,t)=X_{n}(x)T_{n}(t)=B_{n}\sin \left({\frac {n\pi }{l}}x\right)e^{({\frac {n\pi }{l}})^{2}t}$

Se även

• Vågekvationen
• Schrödingerekvationen
• Partiell differentialekvation
• Partiell derivata
• Transportfenomen

Referenser

• http://staff.www.ltu.se/~larserik/applmath/chap4.pdf
• https://web.archive.org/web/20140515003147/http://www.mai.liu.se/~halun/kurser/TATA51/variabelseparation2010.pdf
• http://www.cmi.ac.in/~vipul/studenttalks/theheatequation.pdf
• http://www.stanford.edu/class/math220b/handouts/heateqn.pdf

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Värmeledningsekvationen.
  Bilder & media