Symmetrisk grupp

Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M, d. v. s. bijektiva avbildningar från M till sig själv, med funktionssammansättning som gruppoperator.

De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalitet är isomorfa. Man talar därför om den symmetriska gruppen på n element, och betecknar denna med S_n. S_n har n! element. Endast för n ≤ 2 är S_n abelsk.

För alla n ≥ 3, n ≠ 4 har S_n endast en icke-trivial normal delgrupp, den alternerande gruppen A_n, bestående av de jämna permutationerna. Gruppen S₄ har dessutom den normala delgruppen Kleins fyragrupp.

Cayleys sats säger att varje grupp G är isomorf med en delgrupp till Sym(G) genom avbildningen $g\mapsto (h\mapsto gh)$.

Symmetriska grupperna är viktiga i flera matematiska områden, såsom Galoisteori, invariantteori, representationsteorin av Liegrupper och kombinatorik.

Notation

En permutation f av en ändlig mängd M kan noteras som en tabell, där första raden är en listning av M och andra raden består av bilderna av motsvarande element på första raden.

${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\f(x_{1})&f(x_{2})&\dots &f(x_{n})\end{bmatrix}}$

En annan notation är den så kallade cykliska notationen, där varje element skrivs som en produkt av cykler

$(x\ f(x)\ f^{2}(x)\ \dots \ f^{n-1}(x))$

där $f^{n}(x)=x$. Cykler av längd ett brukar utelämnas som underförstådda.

Exempel: ${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&3&5&6&2&4\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&6\end{pmatrix}}$.

Nedan ges en listning av alla element i $S_{3}$ i de båda notationerna.

${\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}}$
()	(1 2)	(1 3)	(2 3)	(1 2 3)	(1 3 2)

Presentation

En presentation av den symmetriska gruppen S_n ges av generatorerna σ₁, σ₂, ..., σ_n-1 och relationerna:

• $\sigma _{i}^{2}=1\,$
• $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\quad {\textrm {om}}~~j\neq i\pm 1$
• $\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\,$