Symmetrisk grupp Sym(4)

Den symmetriska gruppen Sym(4) eller S₄ utgörs av alla automorfa avbildningar av en mängd med fyra element. Gruppen är den enda av de symmetriska grupperna, som har två icke-triviala normala delgrupper, den alternerande gruppen A₄ och Kleins fyrgrupp V₄ och har särskilt intresse i Galoisteori och kombinatorik.

Gruppen S₄ är isomorf med gruppen bestående av rotationer, speglingar och omorienteringar av en kvadrat eller alternativt rotationer av en kub kring motstående ytor, diagonaler och motstående kanter.

Om exempelvis en kvadrats hörn numreras, med 1, 2, 3 och 4, medsols från det övre vänstra hörnet kan gruppen genereras av rotationen ψ = (1 4 3 2), speglingen φ = (1 2)(3 4) och omorienteringen ω = (2 4 3). Den till S₄ normala delgruppen Kleins fyrgrupp, kan med dessa symboler skrivas V₄ = {I,φ,ψ²,φψ²}.

Gruppens cykelindexsumma kan skrivas Z(S₄) = 6x₄ + 3x₂² + 8x₁x₃ + 6x₁²x₂ + x₁⁴. Koefficienterna 6 + 3 = 9 samt 8, 6, och 1 är de så kallade subfaktorialtalen h(4,0), h(4,1), h(4,2) och h(4,4), med beteckningar enligt Donald Knuth, och summan kan användas vid tillämpningar av Burnside´s lemma.

Hela gruppen S₄ = {I,φ,ψ²,φψ²,ω,ωψ²,ωφ,φω,ω²,φω²,ω²φ,ψ²ω²,ψ,ψ³,φψ,ψφ,ωψ,ψω,ωψ³,ψ³ω,ω²ψ³,ωφψ,ωψφ,ω²φψ}, där operationerna utförs i den ordning de är skrivna. De första tolv elementen är de jämna permutationerna och utgör den alternerande gruppen A₄.

Källor

B.L. van der Waerden, Algebra. Springer-Verlag, Berlin 1936.
Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell, New York 1964.