Stieltjeskonstanter

Inom matematiken är Stieltjeskonstanterna $\gamma _{n}$ en serie konstanter som förekommer i Laurentexpansionen av Riemanns zetafunktion:

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}.$

Den nollte konstanten $\gamma _{0}=\gamma =0.577\dots$ är känd som Eulers konstant.

Representationer

Stieltjeskonstanterna ges av ett gränsvärde

$\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.$

(Fallet n = 0 kräver att den första summanden erfordrar evalveringen 0⁰, vilket antas vara 1.)

Cauchys differentialformel leder till integralrepresentationen

$\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.$

Numeriska värden

De första värdena är

n	Ungefärligt värde av γn	OEIS
0	+0,5772156649015328606065120900824024310421593359	A001620
1	−0,0728158454836767248605863758749013191377363383	A082633
2	−0,0096903631928723184845303860352125293590658061	A086279
3	+0,0020538344203033458661600465427533842857158044	A086280
4	+0,0023253700654673000574681701775260680009044694	A086281
5	+0,0007933238173010627017533348774444448307315394	A086282
6	−0,0002387693454301996098724218419080042777837151	A183141
7	−0,0005272895670577510460740975054788582819962534	A183167
8	−0,0003521233538030395096020521650012087417291805	A183206
9	−0,0000343947744180880481779146237982273906207895	A184853
10	+0,0002053328149090647946837222892370653029598537	A184854
100	−4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017
1000	−1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486
10000	−2,2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883
100000	+1,9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432

För stora n så ökar Stieltjeskonstanterna snabbt i absoluta värden och ändrar tecken i ett komplext mönster.

Över 10000 siffror i decimalutvecklingarna, för numeriska värden av Stieltjeskonstanter upp till n = 100000, har beräknats av Johansson. De numeriska värdena kan hämtas från LMFDB [1].

Asymptotisk ökning

Stieltjeskonstanter uppfyller

$|\gamma _{n}|<{\frac {4(n-1)!}{{\pi }^{n},}}$

vilket bevisades av Berndt. En mycket tätare gräns, giltig för $n\geq 10$, gavs av Matsuoka:

$|\gamma _{n}|<0.0001e^{n\log \log n}$

Knessl och Coffey gav en formel som efterliknar Stieltjeskonstanter exakt för stora n. Om v är den unika lösningen av

$2\pi \exp(v\tan v)=n{\frac {\cos(v)}{v}}$

med $0<v<\pi /2$, och om $u=v\tan v$, så är

$\gamma _{n}\sim {\frac {B}{\sqrt {n}}}e^{nA}\cos(an+b)$

där

$A={\frac {1}{2}}\log(u^{2}+v^{2})-{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}$

$B={\frac {2{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}{[(u+1)^{2}+v^{2}]^{1/4}}}$

$a=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)+{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}$

$b=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{u+1}}\right).$

Upp till $n=10^{5}$ förmodar Knessl–Coffey approximation med korrekt tecken, med det enda undantaget för $n=137$.

Generaliserade Stieltjeskonstanter

Mer generellt kan man definiera Stieltjeskonstanter $\gamma _{k}(a)$ som förekommer i Laurentserien som utvidgning av Hurwitzs zeta-funktion:

$\zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)\;(s-1)^{n}.$

Låt a vara ett komplext tal med Re(a) > 0. Eftersom Hurwitzs zeta-funktion är en generalisering av Riemanns zeta-funktion har vi

$\gamma _{n}(1)=\gamma _{n}.\;$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Stieltjes constants, 17 januari 2014.

Källor

• Weisstein, Eric W., "Stieltjes Constants", MathWorld. (engelska)
• Plouffe, Simon. ”Stieltjes Constants, from 0 to 78, 256 digits each”. http://www.plouffe.fr/simon/constants/stieltjesgamma.txt. 
• Kreminski, Rick (2003). ”Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes generalized Euler constants”. Mathematics of Computation 72 (243): sid. 1379–1397. doi:10.1090/S0025-5718-02-01483-7. 
• Coffey, Mark W. (2009). ”Series representations for the Stieltjes constants”. https://arxiv.org/abs/0905.1111. 
• Coffey, Mark W. (2010). ”Addison-type series representation for the Stieltjes constants”. J. Number Theory 130: sid. 2049–2064. doi:10.1016/j.jnt.2010.01.003. 
• Knessl, Charles; Coffey, Mark W. (2011). ”An effective asymptotic formula for the Stieltjes constants”. Math. Comp. 80 (273): sid. 379–386. doi:10.1090/S0025-5718-2010-02390-7. 
• Johansson, Fredrik (2013). ”Rigorous high-precision computation of the Hurwitz zeta function and its derivatives”. https://arxiv.org/abs/1309.2877.