Schläfli-symbol


Heptagrammen $\scriptstyle {\left\{{\frac {7}{2}}\right\}}$ (till vänster) i vilken sidorna går till det andra hörnet räknat från utgångspunkten och $\scriptstyle {\left\{{\frac {7}{3}}\right\}}$ (till höger) i vilken sidorna går till det tredje hörnet.


Liten stjärndodekaeder $\scriptstyle {\left\{{\frac {5}{2}},5\right\}}$ (till vänster) i vilken fem pentagram möts pentagonalt i varje hörn och dess dual stor dodekaeder $\scriptstyle {\left\{5,{\frac {5}{2}}\right\}}$ (till höger) i vilken fem pentagoner möts pentagrammatiskt i varje hörn.

Schläfli-symbolen, uppkallad efter den schweiziske matematikern Ludwig Schläfli^[1], är en notation på formen $\left\{p,q,r,\dots \right\}$ ^[2] som används för att beskriva regelbundna polygoner, polyedrar, polytoper och tessellationer.

Om $p$ är ett naturligt tal betecknar Schläfli-symbolen $\left\{p\right\}$ en regelbunden polygon, en ${p}$ -hörning.

Är $p$ ett oreducerbart^[3] heltalsbråk $\textstyle {p={\frac {a}{b}}}$ betecknar $\scriptstyle {\left\{{\frac {a}{b}}\right\}}$ en regelbunden stjärnpolygon med $a$ hörn, där $b$ anger till vilket hörn en sida ansluter. $\scriptstyle {\left\{{\frac {5}{2}}\right\}}$ är alltså en femhörnig stjärnpolygon (ett pentagram), medan $\scriptstyle {\left\{{\frac {5}{1}}\right\}}\textstyle {=\left\{5\right\}}$ , det vill säga en vanlig regelbunden femhörning.

Schläfli-symbolen $\left\{p,q\right\}$ betecknar en kropp eller tessellation bestående av regelbundna ${p}$ -hörningar (eller om det är ett bråk regelbundna stjärnpolygoner) där $q$ anger hur många sådana som möts i varje hörn (eller snarare vilken vertexfigur^[4] hörnet har).

En inversion av Schläfli-symbolen, det vill säga att elementen anges i omvänd ordning, ger den duala polytopen. Så anger exempelvis $\left\{4,3\right\}$ en kub och $\left\{3,4\right\}$ en oktaeder, som är kubens duala polyeder. På samma sätt är $\left\{6,3\right\}$ tessellationen av planet med regelbundna sexhörningar och dess dual $\left\{3,6\right\}$ tessellationen av planet med liksidiga trianglar. Om Schläfli-symbolen för en figur är symmetrisk under inversion innebär det att figuren är självdual; som tessellationen av planet i kvadrater $\left\{4,4\right\}$ eller tetraedern $\left\{3,3\right\}$ .

I två dimensioner finns det de tre nyssnämnda tessellationerna av planet med liksidiga trianglar $\left\{3,6\right\}$ , kvadrater $\left\{4,4\right\}$ och regelbundna sexhörningar $\left\{6,3\right\}$

De regelbundna tredimensionella polyedrarna utgörs av de fem konvexa platonska kropparna: tetraeder $\left\{3,3\right\}$ , kub $\left\{4,3\right\}$ och dess dual oktaeder $\left\{3,4\right\}$ , samt dodekaeder $\left\{5,3\right\}$ och dess dual ikosaeder $\left\{3,5\right\}$ .^[5] Därutöver finns det de fyra konvexa Kepler-Poinsot-kropparna: Liten stjärndodekaeder $\scriptstyle {\left\{{\frac {5}{2}},5\right\}}$ med dualen stor dodekaeder $\scriptstyle {\left\{5,{\frac {5}{2}}\right\}}$ och stor stjärndodekaeder $\scriptstyle {\left\{{\frac {5}{2}},3\right\}}$ med dualen stor ikosaeder $\scriptstyle {\left\{3,{\frac {5}{2}}\right\}}$ .^[6]

Fyrdimensionella regelbundna polytoper har Schläfli-symbolen $\left\{p,q,r\right\}$ där $p$ och $q$ , liksom i det tredimensionella fallet, betecknar att $q$ stycken $p$ -hörningar möts i varje hörn, medan $r$ betecknar att $r$ stycken $\left\{p,q\right\}$ -volymer möts längs varje kant. En fyrdimensionell simplex betecknas sålunda $\left\{3,3,3\right\}$ och en tesserakt $\left\{4,3,3\right\}$ . En simplex är självdual, medan den duala polytopen till tesserakten, som har Schläfli-symbolen $\left\{3,3,4\right\}$ och kallas 16-cell eller hexadekakor, består av tetraedrar, $\left\{3,3\right\}$ , som fyra och fyra möts längs varje kant. Utöver dessa tre finns det tre ytterligare regelbundna konvexa polytoper av dimension fyra: den självduala 24-cellen och det duala paret 120-cellen och 600-cellen med Schläfli-symbolerna $\left\{3,4,3\right\}$ , $\left\{5,3,3\right\}$ respektive $\left\{3,3,5\right\}$ .^[7] Därutöver finns det tio regelbundna konkava stjärnpolytoper av dimension fyra.^[6]

För regelbundna polytoper av högre dimension ( $n$ ) tillkommer ett element i symbolen för varje ytterligare dimension. Detta element anger hur många objekt av dimension $n-1$ som möts vid varje objekt av dimension $n-3$ . En $n$ -dimensionell hyperkub har sålunda Schläfli-symbolen $\left\{4,3,...,3\right\}$ med $n-2$ treor. $n$ -hyperkuben, dess dual ( $n$ -hyperoktaedern, $n$ -ortoplexen eller $n$ -korspolytopen) $\left\{3,3,...,3,4\right\}$ och den självduala $n$ -simplexen $\left\{3,3,...,3\right\}$ är de enda regelbundna polytoperna av dimension fem eller högre.^[7] De är samtliga konvexa.

Referenser och noter

Eric Weisstein, Schläfli symbol på Wolfram MathWorld.

^ Schläfli införde notationen på sidan 44 i avhandlingen Theorie der vielfachen Kontinuität 1850-1852: "Wenn in der dreifachen Totalität, oder in Raume, ein reguläres Polyeder von regulären m Ecken umgeschlossen wird, deren je n in einer Ecke zusammenstoẞen, so wollen wir dasselbe mit dem Charakter (m, n) bezeichnen." Se Ludwig Schläfli, återtryck 2013, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, vol. 1, sid. 169 ff., ISBN 9783034841184. Sidan 44 i Theorie der vielfachen Kontinuität motsvaras av sid. 212 i Gesammelte Mathematische Abhandlungen vol.1, 2013. Se även Ruth Kellerhals, 2010, Ludwig Schläfli – ein genialer Schweizer Mathematiker, Elemente der Mathematik 65, sid. 165-177(170-173).
^ Schläfli använde dock vanliga parenteser. Klamrarna (och beteckningen "Schläfli symbol") infördes av H.S.M. Coxeter i dennes Regular Polytopes (Courier Corporation 1973), sid. 14: "The use of a symbol such as {p, q} (for a regular polygon with p-gonal faces, q at each vertex) is due to Schläfli, so we shall call it a Schläfli symbol."
^ Som inte går att förenkla, det vill säga att täljare och nämnare är relativt prima.
^ Vertexfiguren är den figur som bildas om man "skär av" hörnet. Skär man av ett hörn på en kub $\scriptstyle {\left\{4,3\right\}}$ får man en triangulär snittyta $\scriptstyle {\left\{3\right\}}$ , skär man av hörnet på en ikosaeder $\scriptstyle {\left\{3,5\right\}}$ får man en pentagonal snittyta $\scriptstyle {\left\{5\right\}}$ och skär man av det på en stor dodekaeder $\scriptstyle {\left\{5,{\frac {5}{2}}\right\}}$ får man ett pentagramformat snitt $\scriptstyle {\left\{{\frac {5}{2}}\right\}}$ .
^ Eric W. Weisstein. ”Schläfli Symbol” (på engelska). Mathworld. Wolfram Alpha. https://mathworld.wolfram.com/SchlaefliSymbol.html. Läst 29 december 2022.
^ [a b] Csaba D. Toth, Joseph O'Rourke, Jacob E. Goodman, 2004, Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition, sid. 435-437. ISBN 9781420035315.
^ [a b] Michael W. Davis, J. H. Coates, 2008, The Geometry and Topology of Coxeter Groups, sid. 95-96. ISBN 9780691131382.

[1] Schläfli införde notationen på sidan 44 i avhandlingen Theorie der vielfachen Kontinuität 1850-1852: "Wenn in der dreifachen Totalität, oder in Raume, ein reguläres Polyeder von regulären m Ecken umgeschlossen wird, deren je n in einer Ecke zusammenstoẞen, so wollen wir dasselbe mit dem Charakter (m, n) bezeichnen." Se Ludwig Schläfli, återtryck 2013, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, vol. 1, sid. 169 ff., ISBN 9783034841184. Sidan 44 i Theorie der vielfachen Kontinuität motsvaras av sid. 212 i Gesammelte Mathematische Abhandlungen vol.1, 2013. Se även Ruth Kellerhals, 2010, Ludwig Schläfli – ein genialer Schweizer Mathematiker, Elemente der Mathematik 65, sid. 165-177(170-173).

[2] Schläfli använde dock vanliga parenteser. Klamrarna (och beteckningen "Schläfli symbol") infördes av H.S.M. Coxeter i dennes Regular Polytopes (Courier Corporation 1973), sid. 14: "The use of a symbol such as {p, q} (for a regular polygon with p-gonal faces, q at each vertex) is due to Schläfli, so we shall call it a Schläfli symbol."

[3] Som inte går att förenkla, det vill säga att täljare och nämnare är relativt prima.

[4] Vertexfiguren är den figur som bildas om man "skär av" hörnet. Skär man av ett hörn på en kub $\scriptstyle {\left\{4,3\right\}}$ får man en triangulär snittyta $\scriptstyle {\left\{3\right\}}$ , skär man av hörnet på en ikosaeder $\scriptstyle {\left\{3,5\right\}}$ får man en pentagonal snittyta $\scriptstyle {\left\{5\right\}}$ och skär man av det på en stor dodekaeder $\scriptstyle {\left\{5,{\frac {5}{2}}\right\}}$ får man ett pentagramformat snitt $\scriptstyle {\left\{{\frac {5}{2}}\right\}}$ .

[5] Eric W. Weisstein. ”Schläfli Symbol” (på engelska). Mathworld. Wolfram Alpha. https://mathworld.wolfram.com/SchlaefliSymbol.html. Läst 29 december 2022.

[toth-6] [a b] Csaba D. Toth, Joseph O'Rourke, Jacob E. Goodman, 2004, Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition, sid. 435-437. ISBN 9781420035315.

[coates-7] [a b] Michael W. Davis, J. H. Coates, 2008, The Geometry and Topology of Coxeter Groups, sid. 95-96. ISBN 9780691131382.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]