Satsen om isolerade nollställen
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2021-01) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Satsen om isolerade nollställen är en sats inom komplex analys som säger att om är en sammanhängande mängd och är en icke-konstant holomorf funktion så har isolerade nollställen.
Bevis[redigera | redigera wikitext]
Antag att har ett icke-isolerat nollställe. Låt vara mängden av alla sådana att är konstant i en omgivning av . är trivialt öppen. Låt tillhöra det slutna höljet av . Eftersom är holomorf och därmed kontinuerlig följer det att . Antag vidare att inte är konstant i någon omgivning av . Eftersom är holomorf i är den även analytisk här och vi kan uttrycka som
i en omgivning av . Vi måste dessutom ha åtminstone ett som är skiljt från eftersom annars mot antagandet skulle vara konstant här. Alltså får vi
där och är en holomorf funktion i en omgivning av . Eftersom , och är kontinuerlig så är för i en omgivning av . För i denna omgivning utom är även nollskiljt, och det följer att det enda nollstället för i denna omgivning är eftersom . Detta motsäger antagandet att tillhör det slutna höljet av och därför är konstant i en omgivning av och det följer att . Mängden är alltså både öppen och stängd och enligt argumentet ovan måste innehålla det icke-isolerade nollstället enligt antagandet. Det följer nu eftersom inte är tom, att och att är konstant .