Satsen om den öppna avbildningen

Satsen om den öppna avbildningen eller Banach-Schauders sats är inom funktionalanalys ett mycket användbart resultat.

Banach-Schauders sats

Låt $X$ och $Y$ vara två Banachrum. Varje kontinuerlig, linjär och surjektiv operator, $T:X\longrightarrow Y$, är en öppen avbildning.

Satsens innebörd

En öppen avbildning skall jämföras med en kontinuerlig avbildning:

En avbildning $T:X\longrightarrow Y$ är kontinuerlig om den inversa bilden av en öppen mängd är en öppen mängd:

För varje öppen mängd $U$ i rummet $Y$ är den inversa bilden $T^{-1}(U)\,$ en öppen mängd i rummet $X$.

En avbildning $T:X\longrightarrow Y$ är öppen om varje bild av en öppen mängd är en öppen mängd:

För varje öppen mängd $V$ i rummet $X$ är bilden $T(V)$ en öppen mängd i rummet $Y$.

Banach-Schauders sats medför att öppna mängder i rummet $X$ svarar mot öppna mängder i rummet $Y$ och vice versa, om $X$ och $Y$ kan förbindas med en avbildning som är kontinuerlig, linjär och bijektiv. Ett annat sätt att uttrycka detta är att säga att de topologiska strukturerna på rummen $X$ och $Y$ är isomorfa och att avbildningen T är en homeomorfism: Att undersöka kontinuitetsegenskaper i rummet $X$ är detsamma som att undersöka kontinuitet i rummet $Y$ och vice versa.

Bevis av Banach-Schauders sats

Beviset bygger på Baires kategoriteorem och begreppet ingenstans-tät mängd.

Konsekvenser av Banach-Schauders sats

• Satsen om den slutna grafen