Sannolikhetsgenererande funktion

Den sannolikhetsgenererande funktionen för en diskret slumpvariabel är en potensserierepresentation av slumpvariabelns sannolikhetsfunktion. Sannolikhetsgenererande funktioner används ofta för deras kortfattade beskrivning av följden Pr ( X = k ) i sannolikhetsfunktionen för en slumpmässig variabel X. Vidare, om sannolikhetsfunktionen är reproduktionsfördelningen för en Galton-Watson-process, ger upprepad applicering av den sannolikhetsgenererande funktionen långsiktigt beteende för processen.

Definition

Om X är en diskret slumpvariabel som har utfallsrummet {0,1, ...}, definieras den sannolikhetsgenererande funktionen för X som

$G(s)=\operatorname {E} (s^{X})=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)s^{k},$

där p är sannolikhetsfunktionen för X.

Egenskaper

En del intressanta egenskaper för sannolikhetsgenererande funktioner kan härledas.

1. Sannolikhetsfunktionen för X fås genom att derivera G,

   $p(k)=\operatorname {Pr} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.$

2. Det följer från egenskap 1 att om två slumpvariabler X och Y har sannolikhetsgenererande funktioner som är lika, $G_{X}=G_{Y}$ så är även $p_{X}=p_{Y}$. Alltså, om X och Y har identiska sannolikhetsgenererande funktioner, har de identiska sannolikhetsfunktioner.
3. Väntevärdet av $X$ ges av $\mathbb {E} [X]=G'(1^{-}).$ Vidare ges variansen av X av$\operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-\left[G'(1^{-})\right]^{2}.$
4. $G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)$ där X är en slumpvariabel, $G_{X}(t)$ är den sannolikhetsgenererande funktionen och $M_{X}(t)$ är den momentgenererande funktionen.

Exempel

• Den sannolikhetsgenererande funktionen för en konstant slumpvariabel, dvs Pr ( X = c ) = 1, är

  $G(s)=s^{c}.$

• Den sannolikhetsgenererande funktionen för en Bernoullifördelad slumpvariabel med parameter p ges av

  $G(s)=(1-p)+ps.$

• Den sannolikhetsgenererande funktionen för en Poissonfördelad slumpvariabel med parametern λ är

  $G(z)=e^{\lambda (z-1)}.$