Ortonormerad bas

Inom linjär algebra kan en ortonormerad bas eller ortonormal bas (ON-bas) ses som ett koordinatsystem, så kallat ortonormerat koordinatsystem eller ON-system, där koordinataxlarna är ortogonala (sinsemellan vinkelräta) enhetsvektorer (det vill säga vektorer av längden 1). En ON-bas bestående av N vektorer spänner upp ett N-dimensionellt euklidiskt rum, vilket innebär att varje punkt eller vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av ON-basens vektorer.

Exempel

Euklidiska rum

I det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{3}$ kan varje vektor $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ skrivas som en summa av sina komposanter:

$x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}.$

I denna summa ger enhetsvektorerna $e_{1}=(1,0,0)$, $e_{2}=(0,1,0)$ och $e_{3}=(0,0,1)$ upphov till ett rektangulärt koordinatsystem i $\mathbb {R} ^{3}$. I detta sammanhang är det mängden av enhetsvektorer $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ som utgör en ortonormerad bas för det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{3}.$

Funktionsrum

Mängden {f_n : n ∈ Z} med $f_{n}(x)=e^{2\pi inx}$ ger en ortonormerad bas på det komplexa rummet L²([0,1])

Andra rum

Mängden {e_b : b ∈ B} med e_b(c) = 1 om b=c och 0 i övrigt ger en ortonormerad bas på rummet l²(B).

Definition

Linjärt spann

Låt $A\subseteq X$ vara en delmängd till ett vektorrum $X$. Det linjära spannet av $A$ är den mängd, $span(A)$, som består av alla linjärkombinationer

$\xi _{1}x_{1}+\cdots +\xi _{n}x_{n},$

vars koefficienter $\xi _{k}$ är komplexa tal och vars komponenter $x_{k}$ är element i mängden $A$.

Total mängd

En delmängd $A\subseteq X$ till ett normerat rum, $X$, är en total mängd om det slutna höljet av dess linjära spann utgör hela rummet $X$; det vill säga om

${\overline {span(A)}}=X.$

Ortonormerad mängd

En delmängd $A\subseteq X$ till ett pre-Hilbertrum $X$, säges vara en ortonormerad mängd om den inre produkten $\langle x,y\rangle$ mellan två element $x,y\in A$ är

$\langle x,y\rangle ={\begin{cases}1&x=y\\0&x\neq y.\end{cases}}$

Ortonormerad bas

En delmängd $A\subseteq X$ till ett pre-Hilbertrum $X$, säges vara en ortonormerad bas till $X$ om $A$ är en total, ortonormerad mängd.