Omegakonstanten

Omegakonstanten är den matematiska konstanten

$\Omega \equiv W(1)\approx 0\mathrm {,} 5671432904\,$

där W betecknar Lamberts W-funktion.

Karakterisering

Eric Weisstein beskriver omegakonstanten som exponentialfunktionens motsvarighet till det gyllene snittet, då den bland annat uppfyller följande ekvivalenta identiteter:

• $\Omega \mathrm {e} ^{\Omega }=1\,$
• $\mathrm {e} ^{-\Omega }=\Omega \,$
• $\ln(1/\Omega )=\Omega .\,$

där e betecknar Eulers tal och ln betecknar den naturliga logaritmen.

Irrationalitet och transcendens

Omegakonstanten är ett irrationellt tal, vilket följer av att e är transcendent. Om Ω kunde skrivas som ett rationellt tal p/q skulle gälla att

$\mathrm {e} ={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}$

och därmed att e är algebraiskt, en motsägelse. Att Ω även är transcendent följer av Lindemann–Weierstrass sats: om den vore algebraisk skulle e^Ω och därmed även

${\frac {1}{\mathrm {e} ^{\Omega }}}=\Omega ,$

vara transcendent, vilket motsäger det ursprungliga antagandet.

Beräkning

Ω kan beräknas genom att välja en lämplig uppskattning Ω₀ och sedan utföra iterationen

$\Omega _{n+1}=\mathrm {e} ^{-\Omega _{n}}$

som konvergerar mot Ω då n går mot oändligheten, om än relativt långsamt. En mer effektiv iteration är

$\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+\mathrm {e} ^{\Omega _{n}}}},$

som konvergerar kvadratiskt.

Integraler

En integral för omegakonstanten är

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{1+\Omega }}.$

Jämförelsevis är

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{x}-x+1)^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}};$

ett exempel på att komplexiteten hos värdet av en definit integral är svår att förutsäga.

Källor

• Eric Weisstein, "Omega Constant", MathWorld
• Gérard Michon, "Numerical Constants"
• Victor Moll, "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals", MAA Short Course on Experimental Mathematics