Newtons polygon

Inom matematiken är Newtons polygon ett polygon i det euklidiska planet som kan associeras till ett polynom. Det är ett verktyg för att förstå beteendet hos polynom över lokala kroppar.

Definition

Givet ett polynom över en kropp $K$ , om man antar att detta polynom har rötter kommer beteendet hos dessa vara okänt. Newtons polygon är en metod för att undersöka egenskaper hos dessa rötter. Låt $K$ vara en lokal kropp med diskret värdering $v_{K}$ och låt

f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in K[x]

Där $a_{0}a_{n}\neq 0$ . Då är Newtons polygon av $f$ definierad som det nedre konvexa höljet av uppsättningen av punkterna

P_{i}=\left(i,v_{K}(a_{i})\right),

Ignorera de punkter där $a_{i}=0$ , räkna om punkterna geometriskt och plotta dessa i ett xy-plan. Anta att dessa punkter ökar från vänster till höger, (P₀ längst till vänster och P_n längst till höger. Starta sedan i P₀ och dra en linje rakt ner parallellt med y-linjen. Rotera sedan denna linje motsols tills linjen träffar en annan punkt, det behöver inte vara P₁. Slut linjen där och gör om processen från denna punkt, upprepa detta tills man når punkt P_n. Dessa punkter och linjerna mellan dem bildar Newtons polygon till $f$ .

Ett mer praktiskt sätt att se detta är att placera ut punkterna i ett xy-plan och sätta ett gummiband runt dem. Sträck sedan bandet uppåt så att gummibandet fastnar vid de nedre punkterna. Dessa punkter tillsammans med gummibandet som går mellan dem blir Newtons polygon.

Exempel

Funktion: $f(x)=x^{5}+2x^{2}+4$ med givet primtal 2.

Newtons polygon till denna funktion består av två delar, en med lutning ${\frac {-1}{3}}$ och längd 3 och en med lutning ${\frac {-1}{2}}$ och längd 2.

Funktion : $f(x)=x^{5}+2x+4$ med givet primtal 2.

Newtons polygon till denna funktion består av två delar, en med lutning ${\frac {-1}{4}}$ och längd 4 och en med lutning $-1$ och längd 1.

Sats

Antag att rötterna till funktionen $f$ genererar en avskiljbar förlängning av $K$ . Låt m_j vara den negativa lutningen av j och låt p_j vara längden av projektionen av j till den horisontella axeln. Då finns det exakt p_j rötter av $f$ i $K$ med samma ordning som i m_j

Bevis: Låt v₁ < ... < v_m vara den distinkta ordningen av rötter och anta att det är exakt $\mu _{i}$ rötter med ordning v_i. Låt \sigma_j var den v:de symmetrika funktionen av rötterna så att c_i = ± $\sigma _{i}$

Låt p₁,..., $p_{\mu _{1}}$ vara rötterna med högst ordning. Med det följer

$\sigma _{\mu _{1}}$ = p₁ ... $p_{\mu _{1}}$ + (andra produkter)

Där de andra produkterna av $\mu _{1}$ :s faktorer har strängt mindre ordning. Av den ultrametriska ojämlikheten följer det att ord( $\sigma _{\mu _{1}}$ ) = ord(p₁ ... $\mu _{1}$ ) = $\mu _{1}$ v₁

På liknande sätt, låt

$\tau _{1}$ , ... , $\tau _{\mu _{2}}$ vara den näststörsta sats av rötter, alltså rötter av ordning v₂ Då följer

$\sigma _{\mu _{1}+\mu _{1}}$ = p₁ ... $p_{\mu _{1}}$ $\tau _{1}$ , ... , $\tau _{\mu _{2}}$ + (andra produkter)

Där alla andra produkter har en strikt mindre ordning. Om man igen använder sig av den ultrametriska ojämlikheten får man följande samband

ord( $\sigma _{\mu _{1}+\mu _{1}}$ ) = ord(p₁ ... $p_{\mu _{1}}$ $\tau _{1}$ , ... , $\tau _{\mu _{2}}$ ) = $\mu _{1}$ v₁ + $\mu _{2}$ v₂

Med detta följer allmänt,

ord( $\sigma _{\mu _{1}+...+\mu _{1}}$ ) = $\mu _{1}$ v₁ + ... + $\mu _{j}$ v_j

Med detta följer det att linjesegmentet som förbinder N(n - $\mu _{1}$ - ... - $\mu _{j}$ har lutning - v_j + 1 och projektionen på den horsiontella axeln har längd $\sigma _{j+1}$

Å andra sidan, för

$\mu _{1}$ v₁ + ... + $\mu _{j}$ v_j < M < $\mu _{j+1}$ v_{j + 1}

Med den ultrametriska ojämlikheten

ordM > min(ordningen av produkten av M:s rötter) = $\mu _{1}$ v₁ + ... + $\mu _{j}$ v_j + (M - $\mu _{1}$ - ... - $\mu _{j}$ )v_{j + 1}

Alltså N(n - M) ligger på eller över det segment som kopplar ihop de två punkterna N(M - $\mu _{1}$ - ... - $\mu _{j}$ ) och N(M - $\mu _{1}$ - ... - $\mu _{j+1}$ )

Se även

Eisensteins kriterium

Externa länkar