Lombs periodogram

Lombs Periodogram, eller Lomb-Scargle Periodogram, är en metod för att skatta frekvensspektrum för data som inte är samplade med jämnt intervall .

Antag att data är $x_{i}$, tillgängliga vid tidpunkter $t_{i}$ för $i=1,...,N$.

Spektrumet vid $\omega$ kan då skattas genom att beräkna

$P(\omega )={\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}{x_{i}\cos \left(\omega \left(t_{i}-\tau \left(\omega \right)\right)\right)}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}{\cos ^{2}(\omega (t_{i}-\tau (\omega )))}}}+{\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}{x_{i}\sin(\omega (t_{i}-\tau (\omega )))}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}{\sin ^{2}(\omega (t_{i}-\tau (\omega )))}}}$

där $\tau$ definieras med hjälp av

$\tan(2\omega \tau )={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\sin(2\omega t_{i})}}{\sum _{i=1}^{N}{\cos(2\omega t_{i})}}}$.

Scargle visade att den här skattningen är statistiskt ekvivalent med ett vanligt periodogram vid jämnt samplad data .

Lomb visade i sin tur att skattningen är ekvivalent med en minsta-kvadrat skattningen vid varje frekvens , med andra ord ges samma resultat genom att först beräkna

$\mathbf {s} _{\omega }={\begin{bmatrix}\sin(\omega t_{1})\\\sin(\omega t_{2})\\\vdots \\\sin(\omega t_{N})\end{bmatrix}}$, $\mathbf {c} _{\omega }={\begin{bmatrix}\cos(\omega t_{1})\\\cos(\omega t_{2})\\\vdots \\\cos(\omega T_{N})\end{bmatrix}}$, $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{N}\end{bmatrix}}$

samt

$A_{\omega }={\begin{bmatrix}\mathbf {s} _{\omega }&\mathbf {c} _{\omega }\end{bmatrix}}$

och spektrumet kan sedan skattas genom att beräkna

${\begin{bmatrix}S_{\omega }\\C_{\omega }\end{bmatrix}}=(A_{\omega }^{T}A_{\omega })A_{\omega }^{T}\mathbf {x}$,

där

$P(\omega )=S_{\omega }^{2}+C\omega ^{2}$.